Comprendre ce que sont les fractions algébriques et comment elles peuvent être simplifiées est fondamental et ensuite savoir comment résoudre des exercices sur les expressions algébriques.
À première vue, ce sujet peut sembler assez complexe et tous les étudiants ne sont pas en mesure de le comprendre jusqu'au bout, mais si vous suivez ce qui est écrit dans cet article, vous en bénéficierez et découvrirez l'importance de la simplification.
Quelles sont les fractions algébriques
Une fraction algébrique n'est rien de plus qu'une fraction très simple que, au lieu de nombres, a un polynôme comme numérateur et dénominateur. Bien sûr, le polynôme du dénominateur ne doit pas être nul, sinon nous aurons une forme indéterminée de ce type: A / 0.
Rappelons que par le polynôme, nous entendons une expression littérale formée par la somme des monomes, ou des variables constantes et multipliées ensemble.
Les conditions d'existence des fractions algébriques
Une fraction algébrique dépend des valeurs qui prennent les lettres à partir desquelles il est composé. Il peut perdre du sens lorsque ces lettres prennent certaines valeurs.
EXEMPLE: Si nous considérons la fraction algébrique suivante: (x + 1) / (x-3), cela ne signifiait pas quand il prend comme valeur x = 3 puisque, en remplaçant, nous aurions (3 + 1) / (3-3) ⇒4 / 0 en indéterminé.)
Dans ce cas, par conséquent, avant de procéder à la simplification, nous écrire CE: x ☎ 3.
Le calcul des hameaux algébriques
Avant de parler de simplification, il est nécessaire d'aller pour voir quelles opérations sont possibles parmi les fractions algébriques.
Ajout et soustraction
Quant aux fractions numériques, même pour les fractions algébriques, il est possible de faire la somme et la différence:
- Si deux ou plusieurs fractions algébriques ont le même dénominateur, alors le dénominateur du hameau résultant sera le même que les deux hameaux que nous ajoutons; tandis que le numérateur sera la somme algébrique des numérateurs.
EXEMPLE: 5A / (AB) + 3A / (AB) = (5A + 3A) / (AB)
- Si, en revanche, le dénominateur des fractions est différent, nous aurons besoin du MCM (multiple commun minimum) ou dans ce cas, il est nécessaire, si possible, de réduire d'abord la fraction au même dénominateur par une simplification (comme nous le verrons plus tard) et ensuite procéder à la somme des numérateurs que dans le cas précédent.
EXEMPLE: 5a / (ab) + 3a / (a + b) = 5a
Multiplication
Pour multiplier deux fractions algébriques ou plus, faites simplement le produit des numérateurs et le produit parmi les dénominateurs.
EXEMPLE: 2e / 3b · a / 2b = 2a² / 6b²
La division
Lorsque, en revanche, nous sommes confrontés à une division entre les fractions algébriques, nous devons multiplier la première par la mutuelle de la deuxième fraction.
EXEMPLE: 4a / b: 2b / 3a = 4a / b · 3a / 2b = 12e / 2b²
Simplification
Pour simplifier la première chose à faire, c'est de voir si le numérateur et le dénominateur peuvent être écrits ou décomposés d'une manière différente à partir de laquelle ils nous sont présentés sur la piste.
Cela peut se produire par un souvenir total ou partiel ou par la décomposition de produits importants s'il y en a.
Après cette étape, nous devons appliquer la propriété invariante. En fait, il est possible de multiplier ou de diviser à la fois le numérateur et le dénominateur d'une fraction algébrique pour le même polynôme. Ce faisant, nous obtiendrions une fraction équivalente au premier.
La simplification des propriétés d'invariamption
Si nous avons une fraction de ce type 15a³b / 5ab², il est possible de le simplifier de cette manière:
- Nous simplifions les coefficients numériques (divisé par 5):
15A³b /5Ab² ⇒ 3a³b / ab² - Nous divisons par: 3
parb /àb² ⇒ 3a²b / b² - Nous divisons par b: 3a²
b/ /b²⇒ 3a² / b
La simplification pour les souvenirs partiels ou totaux
Parfois, cependant, avant de diviser le numérateur et le dénominateur d'une fraction algébrique, il est nécessaire d'écrire les termes sous une forme différente. Ceci est possible dans certains cas en collectant un terme de polynôme.
Si nous considérons une fraction du type (X²-x)/ 3x Il est possible de le simplifier de cette manière:
- Nous collectons le X au numérateur: (X (x-1)) / 3x
- Nous divisons tout par x: (
x(X-1)) / 3x⇒ (X-1) / 3
Soyez prudent cependant! Comme précédemment, lorsque nous avons parlé du domaine de l'existence, la deuxième étape n'est possible que si x ☎ 0 sinon cette simplification serait « illégale ». Une astuce, qui vous sauvera la vie dans des situations comme celles-ci, est donc d'écrire le CE au début de chaque simplification.
La simplification de la décomposition
Il existe de nombreuses façons de pouvoir décomposer un polynôme, les plus utilisés sont la panne à travers des produits remarquables et celui avec le théorème de Ruffini.
Dans le cas du hameau (X²-4x + 4)/ (3x-6), par exemple, nous avons que le numérateur est un carré de combinaison afin que nous puissions le simplifier comme ceci:
- Nous réécrivons le numérateur en tant que carré binomial: (X-2) ²/ (3x-6)
- Nous collectons le 3 dans le dénominateur: (x-2) ² / (3 (x-2))
- Nous définissons ce: x-2 ☎ 0 puis x ☎ 2
- Nous simplifions la division pour (x-2): (x-2)²/ (3
(X-2)) ⇒ X-2/3
Simplifier les fractions algébriques: exemples
Voyons maintenant des exercices légèrement difficiles qui peuvent tromper à première vue, mais qui s'avèrent alors encore plus simples que ceux réalisés jusqu'à présent.
Exercice 1
Nous simplifions la fraction algébrique: (27x³-1)/ (3x-1). Cela peut sembler plus compliqué car la fin du X au cube apparaît. Cependant, comme vous l'avez déjà étudié, le numérateur a donc la forme d'un cube de combinaison:
- Nous réécrivons le numérateur: ((3x-1) (9x² + 3x + 1)) / (3x-1)
- Nous divisons le numérateur et le dénominateur pour (3x-1) avec Ec: x ☎ 1/3: (
(3x-1)(9x² + 3x + 1)) /(3x-1)⇒ (9x² + 3x + 1).
Exercice 2
La fraction algébrique (x²-5x-6) / (x + 1) contient son numérateur un trinomial du type x² + sx + pOù trier est un résumé et p par produit. Dans ce cas, en fait, pour briser le numérateur, nous devons trouver deux nombres dont la somme est -5 Et le produit est -6. Comme vous le supposez déjà, ces deux nombres seront +1 et -6, en fait (+1) + (-6) =-5 et (+1) × (-6) =-6.
J'ai trouvé ces nombres, nous pouvons réécrire le numérateur comme (x + 1) (x-6). Si vous essayez de multiplier ces deux polynomes en fait, il sortira x²-5x-6.
Maintenant, nous réécrivons le hameau (x + 1) (x-6) / (x + 1), simplifiez (x + 1) et obtenez (x + 1)(X-6) / (x + 1) ⇒ X-6.
Les erreurs à ne pas faire lorsqu'elles sont simplifiées
Si vous ne voulez pas prendre un mauvais vote pour la prochaine tâche de mathématiques, je vous recommande de lire attentivement ce paragraphe. Très souvent, en fait, lors de la simplification des fractions algébriques, de nombreuses erreurs graves sont commises à la fois en raison de la distraction, mais parfois aussi parce qu'il y a des exercices « perce » qui peuvent vous éloigner de la route.
L'erreur la plus populaire parmi les étudiants consiste à simplifier une fraction même lorsqu'il y a des termes liés les uns aux autres via un ajout ou une soustraction.
EXEMPLE: Dans le cas de cette fraction (4x²-2) / 4x², nous ne sommes pas autorisés à simplifier le 4x² car le numérateur est lié au signe « + » avec 2. C'est donc un erreur: (4x²-2) /4x²
Un autre cas dans lequel nous pouvons tromper est quand il y a la présence de faux produits remarquables.
EXEMPLE: dans le hameau (X²-4x-4)/ (X-2) Vous pourriez facilement vous confondre en décomposant le numérateur comme un carré de combinaison et transformer le Frione de cette manière: (X-2) ²/ (X-2), puis simplifier comme suit: (X-2) ²/ /(X-2) ⇒ x-2. Mais soyez prudent parce que cette simplification est complètement faux!
Le polynôme du numérateur n'est pas une combinaison de combinaison car dans ce cas, il aurait dû avoir un terme de +4 bien connu. Comme vous pouvez le voir, en revanche, le terme connu qu'il est positif, il n'est donc pas dans la forme a² + 2ab + b², donc elle ne peut donc pas être décomposée.
