Comment dessiner le graphique d'une fonction

Les mathématiques pures sont, à leur manière, la poésie des idées logiques.

Albert Einstein

Savoir dessiner le graphique d'une fonction est très important, d'autant plus que cela pourrait faire partie des questions de mathématiques de l'examen final !

Habituellement, les problèmes peuvent concerner des fonctions polynomiales, exponentielles, logarithmiques et trigonométriques, mais pour les résoudre, vous ne devez pas avoir de doutes sur la façon de tracer le graphique d'une fonction.

Les fonctions sont des outils fondamentaux en mathématiques, utilisées pour modéliser des phénomènes, décrire des relations entre des quantités et construire des concepts abstraits dans de nombreuses branches de la discipline.

Une représentation graphique est la dernière étape de l'étude des fonctions : l'étude de la fonction consiste à analyser toutes les valeurs que l'on peut attribuer aux variables, identifier leurs limites, les points d'inflexion, trouver les asymptotes, si elles existent, et enfin représenter la fonction par un graphique.

Il existe une méthode mathématique générale pour étudier les variations d'une fonction donnée dans un intervalle I, tracer les variations et les représenter graphiquement sur un plan cartésien.

Découvrons donc tout ce que vous devez savoir pour représenter correctement une fonction !

Définition et graphique d'une fonction linéaire

L’étude de la fonction linéaire est sans doute la plus simple de toutes.

Rappelons d'abord que une fonction est une association qui relie les éléments de deux ensembles: chaque élément de l'ensemble A correspond à un et un seul élément de B.

Autrement dit, chaque valeur de la variable x correspond à une seule valeur de la variable y.

Si la fonction part de A, c'est la variable indépendante et l'ensemble est défini domainetandis que B, la variable dépendante, devient la codomaine. On peut dire que B, ou variable y, varie comme A, ou variable x, varie.

Les fonctions linéaires sont représentées par une ligne sur le plan cartésien, c'est-à-dire le plan formé de deux lignes perpendiculaires, une ligne horizontale ou axe des x ou abscisse, et une ligne verticale ou axe des ordonnées.

La caractéristique des fonctions linéaires est que dans l'équation elles n'ont qu'une seule variable et une seule constante, également appelée paramètre, différente de zéro :

f (x)= hache +b

Il s'agit donc d'un polynôme du premier degré Où:

• a est différent de zéro
• b n'importe quel nombre réel

Le paramètre est également appelé coefficient angulaire car il détermine la pente de la droite. Si le paramètre est a= 0 nous avons une fonction constante. Si b est égal à zéro, nous avons une fonction d'identité.

En passant au graphique, comme nous l'avons vu, il s'agit d'une droite dont le point d'intersection entre les deux axes correspond à x=0. La droite ne sera ni verticale ni horizontale mais aura une pente décrite par la valeur de a. Si par exemple dans la fonction y=hache+b la valeur de a est 3, ce qui signifie que pour chaque point en abscisse, on va se déplacer de 3 points en ordonnée.

Grâce à la pente, vous pouvez identifier d'autres points et utiliser des outils très simples, comme la règle et le carré, pour tracer le graphique de la fonction linéaire. Tout ce que vous avez à faire est de trouver trois points pour pouvoir tracer la ligne.

Dans le cas de fonctions complexes, qui ne sont pas linéaires, il est cependant utile de toujours partir des points d'intersection avec l'axe des x où x est égal à zéro.

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Dessiner le graphique d'une fonction dérivée première

En analyse mathématique, la notion de dérivée est fondamentale, notamment pour les élèves de cinquième année.

La dérivée mesure le taux de changement d'une fonction f(x) lorsque son argument (x) change. En termes simples, il indique de combien la fonction augmente ou diminue point par point.

Le rapport entre la distance sur l’axe des y et celle sur l’axe des x s’appelle rapport incrémental. La dérivée photographie la situation d'un point précis de cette relation si une limite existe et qu'elle est finie.

Il nous indique si la fonction accélère ou décélère à ce point précis, c'est pourquoi il trouve des applications en physique, en économie et en statistiques. L'ensemble des points auxquels la dérivée première peut être calculée (f') c'en est un fonction différentiable.

La dérivée seconde (f'') est l'ensemble des points auxquels la dérivée première peut être calculéec'est donc la dérivée de la dérivée première. D'un point de vue géométrique, la dérivée seconde sert à identifier les valeurs qui rendent une courbe concave, tandis que la dérivée première représente son inclinaison.

Avant de dessiner une fonction, assurez-vous de disposer des outils nécessaires, ou d'une feuille Excel, pour collecter les valeurs définies du domaine et créer des graphiques.

Dans notre répétition mathématique en ligne, nous examinons la fonction f(x)=x³+3²-9x+6. C'est un fonction polynomiale formé par la somme de 3 termes de la formule axⁿ (a et n sont des entiers naturels) et une constante. Sachant que le dérivé de hacheⁿ c'est du type anx^n-1 et que la dérivée d'une constante est nulle, la dérivée de f(x) est :

f'(x)=3x²+6x-9.

Factoriser la dérivée de f

Le but de cette phase est de factoriser la dérivée de la fonction f(x) afin de l'exprimer sous la forme du produit ou du quotient d'une expression.

Là factorisation c'est une étape clé à ne pas oublier car elle facilite grandement l'étude du signe de la fonction f'(x). La factorisation, c'est comme résoudre une énigme mathématique lors d'un cours sur ce sujet !

Petite curiosité : saviez-vous que le calcul de la dérivée d'une fonction en physique sert à mesurer l'accélération des corps ?

On peut prendre 3 comme facteur et écrire : f'(x)=3(x²+2x-3).

x²+2x-3 est un trinôme du deuxième degré qui a la forme ax²+bx+c où a,b et c sont des nombres réels. Pour factoriser ce trinôme vous devez d'abord calculer le discriminant et trouver les racines de x1 et x2 :

b² -4ac = 2² -4×1×-3 = 4+12 = 16

La racine peut alors être calculée avec la formule suivante :

x₁=-3

x₂=1

Notez que le discriminant est positif (et alors les deux racines existent), le trinôme peut s'écrire sous la forme factorisée (x-x1)(x-x2), ce qui signifie x²+2x-3=(x-(-3)) (x-1)=(x+3)(x-1).

La dérivée de la fonction s’écrit sous la forme factorisée suivante :

f'(x)03(x+3)(x-1)

Étudie le signe sur un intervalle I

Le nombre 3 est positif donc le signe de f'(x) est identique au signe de (x+3)(x-1).

On résout l’inégalité suivante :

x + 3 > 0 => x > -3, donc le binôme x+3 est positif si x est supérieur à -3, il est nul si x est égal à -3, et il est négatif si x est inférieur à -3.

x – 1 > 0 => x > 1, de même le binôme x-1 est positif si x est supérieur à -1, il est égal à zéro si x est égal à 1 et il est négatif si x est inférieur à 1.

Le graphique des signes de la dérivée f'(x) est présenté ci-dessous :

Notez que nous aurions également pu déterminer le signe du trinôme x²+2x-3 en utilisant une autre méthode. Lorsque le discriminant est positif, le trinôme ax²+bx+c prend un signe opposé à a dans l'intervalle compressé entre les deux racines x₁ ancien₂ et le même signe qu'un autrement.

Et après cette explication, découvrez comment résoudre les autres problèmes mathématiques !

Tracer la courbe des variations de f sur un intervalle

Trouvez la dérivée de f pour chaque intervalle J :

• si f'(x)>0 pour tout x appartenant à J, f est croissant
• si f'(x)<0 pour toute valeur de x appartenant à J, f est décroissante.

L'évolution de la courbe est la représentation schématique des directions que prend la courbe sur les axes des abscisses et des ordonnées.

L’évolution de la variation de f est la suivante :

Notez que f(-3)=33 et f(1)=1

Calculons les limites de la fonction :

= = +∞

= = -∞ (un nombre négatif soumis à une puissance impaire, reste négatif)

Du tableau des variations de f, on constate que cette fonction atteint un maximum au point A (-3;33) et un minimum au point B (1;1).

Si ce sujet vous intéresse, approfondissez également vos connaissances sur les équations en mathématiques !

Comment représenter une fonction sur un intervalle défini

Pour tracer le graphique représentant cette fonction, il suffit de placer son maximum et son minimum sur le plan cartésien et de réaliser un tableau qui nous aide à positionner d'autres points précis :

Et voici notre fameuse courbe :

Les mathématiques et l’art sont souvent liés, sauf qu’une courbe mathématique est tout sauf artistique ! Attention à mettre les données au bon endroit sur le plan. Le tableau des variations d'une fonction permet de retrouver facilement les asymptotes. On les trouve généralement en étudiant le signe de la dérivée.

Lors d'un cours de mathématiques, les élèves s'exercent sur des tableaux qui ne représentent pas la totalité de la fonction, mais seulement une partie.

En revanche, si une fonction se répète à l’infini, on ne peut pas le faire autrement. Dans ce cas, les fonctions sont dites périodiques.

Avec ces informations simples, vous pouvez désormais facilement dessiner le graphique d'une fonction… bon travail !