L'algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui traite de l'étude des porteurs, des espaces vectoriels (ou des espaces linéaires), des transformations linéaires et des systèmes d'équations linéaires.
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C'est certainement un sujet très difficile et spécifique. C'est généralement un sujet étudié par ceux qui fréquentent l'université, précisément parce qu'il nécessite des connaissances de base très avancées.
Dans cet article, nous essaierons de clarifier certains concepts de base et de donner des indications sur la façon d'étudier cette branche des mathématiques. De plus, nous verrons également dans quelles situations ce sujet particulier peut être appliqué.
Notions de base
Nous verrons certaines caractéristiques et propriétés de l'algèbre linéaire.
Algèbre linéaire et vecteurs
L'algèbre linéaire a ses origines dans l'étude des vecteurs dans les espaces cartésiens à deux dimensions.
Dans ce cas, un transporteur est un segment orienté, caractérisé par la longueur (ou l'ampleur), la direction et le verset.
Les vecteurs peuvent être utilisés pour représenter certaines entités physiques telles que les forces. Ils peuvent également être ajoutés les uns aux autres et multipliés par un scalaire, formant ainsi le premier exemple d'espace vectoriel sur les Royals.
Un espace vectoriel est défini sur un champ, comme le champ de nombres réels ou le champ de nombres complexes. Si une base est fixée pour un espace vectoriel, chaque transformation linéaire peut être représentée par une table appelée matrice.
Dans l'algèbre linéaire, les propriétés des matrices sont donc étudiées, et les algorithmes pour calculer les quantités importantes qui les caractérisent, comme le rang, le déterminant et l'ensemble de ses auto-cartes.
Un espace vectoriel (ou un espace linéaire), en tant que concept purement abstrait sur lequel les théorèmes sont prouvés, fait partie de l'algèbre abstraite et bien intégrée dans ce domaine. Certains objets algébriques connexes, par exemple, sont l'anneau de cartes linéaires d'un espace vectoriel lui-même, ou le groupe de matrices invertibles.
L'algèbre linéaire joue également un rôle important dans l'analyse. En particulier dans la description des dérivés d'ordre supérieur dans l'analyse vectorielle et dans la résolution des équations différentielles.
L'espace vectoriel
La notion la plus importante de l'algèbre linéaire est celle de l'espace vectoriel. Un espace vectoriel est un tout d'éléments, appelés vecteurs.
Le plan cartésien est l'exemple fondamental de l'espace vectoriel. Chaque point du plan est en fait identifié univoque comme un couple de nombres réels. L'origine est le point .
Applications linéaires
Une transformation linéaire, également appelée application linéaire ou carte linéaire, est une fonction linéaire entre deux espaces vectoriels sur le même champ.
Autrement dit, c'est une fonction qui préserve les sommes de la somme des vecteurs et de la multiplication pour un scalaire.
Le produit d'escalade
Deux vecteurs Et d'un espace vectoriel peut être somme. Le résultat est un transporteur.
Aussi un transporteur et un scalaire peut être multiplié. Le résultat est un transporteur .
Bases et tailles
La base d'un espace vectoriel est un ensemble de transporteurs linéairement indépendants qui génèrent de l'espace. LEn VOIE ÉQUIVALANT, chaque élément de l'espace vectoriel peut être écrit d'une manière unique en tant que combinaison linéaire des porteurs appartenant à la base.
Si la base d'un espace vectoriel se compose d'un nombre fini d'éléments, la taille de l'espace est terminée. En particulier, le nombre d'éléments de la base coïncide avec la taille de l'espace.
Au lieu de cela, la dimension d'un espace vectoriel est la cardinalité de sa base, c'est-à-dire que c'est le nombre de vecteurs qui le ralentissent.
Toutes les fondements du même espace vectoriel ont la même cardinalité, car la taille de la taille des espaces vectoriels établit, et donc la taille d'un espace vectoriel est définie de manière unique. La dimension d'un espace vectoriel sur le terrain Il est écrit comme .
Applications
Donnez ces définitions, maintenant nous verrons comment et où toutes ces notions trouvent une application plus pratique.
Systèmes linéaires
Un système d'équations linéaires, également appelée système linéaire, est un système composé de plusieurs équations linéaires qui doivent toutes être vérifiées en même temps.
Une solution du système est un porteur dont les éléments sont les solutions des équations qui composent le système, c'est-à-dire que si elles sont remplacées par des inconnues, font des équations d'identité.
L'algèbre linéaire fournit de nombreux algorithmes pour déterminer les solutions d'un système linéaire. Le lien entre les systèmes d'équations et l'algèbre linéaire réside dans le fait que la matrice peut être interprété comme une application linéaire à partir de dans : Selon cette interprétation, les solutions Ils sont exactement les contre-immagini de .
Géométrie analytique
La géométrie analytique, également appelée géométrie cartésienne, est l'étude des figures géométriques à travers le système de coordonnées aujourd'hui appelé cartésien.
Dans la géométrie analytique, une ligne droite ou un plan est décrite par les systèmes d'équations linéaires: comme cela vient d'être vu, ceux-ci peuvent être facilement étudiés avec les outils de l'algèbre linéaire.
Vous pouvez donc faire face à des problèmes tels que les positions mutuelles de deux lignes (ou plans) droites dans l'espace (qui peuvent être des accidents, des parallèles ou des torchons), et comment ceux-ci varient pour les transformations linéaires.
Calcul différentiel
L'analyse mathématique des fonctions dans une variable n'utilise pas d'algèbre linéaire. L'analyse des fonctions dans plusieurs variables, en revanche, dépend fortement de ce secteur. La notion de dérivé est en fait étendue dans plusieurs variables à celle de différentiel.
Alors que la dérivée est un simple nombre réel qui indique la pente d'une fonction en un point, le différentiel est une application linéaire, qui indique toujours la « pente » d'une fonction (avec plusieurs variables) en un point.
Analyse fonctionnelle
L'analyse fonctionnelle est le secteur de l'analyse mathématique qui traite de l'étude des espaces de fonctions.
De nombreux problèmes d'analyse fonctionnelle, tels que la recherche d'une solution pour une équation différentielle, sont traités en analysant un espace particulier de fonctions. Un espace de fonctions est un espace vectoriel dont les éléments sont des fonctions d'un certain type (par exemple continu, intégral, dérivable … défini sur un domaine fixe).
Mécanique quantique
Mécanique quantique (également appelée physique quantique ou Théorie du quantum) est la théorie physique qui décrit le comportement de la matière, du rayonnement et des interactions mutuelles, avec un respect particulier des phénomènes caractéristiques de l'échelle de longueur ou d'énergie atomique et subatomique.
La mécanique quantique utilise largement les théorèmes d'algèbre linéaire les plus avancés. Le modèle mathématique utilisé dans ce secteur de la physique décrit les états possibles d'un système quantique comme des éléments d'un espace de Hilbert particulier et les quantités observables (telles que la position, la vitesse, etc.) en tant qu'opérateurs auto-administrés.
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