En mathématiques, la plupart des fonctions, c'est-à-dire les opérations qui sont potentiellement répétées à l'infini, ne sont pas bien définies.
Seuls quelques-uns sont connus, comme la fonction exponentielle, le logarithmique, la racine carrée, etc., mais lorsqu'ils définissent de nouvelles fonctions, qu'elles soient fabriquées à partir de zéro ou dérivées de la composition des personnes connues, les comportements changent. Ici entre en jeu analyse fonctionnellecommunément appelé étude de fonction .

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Définition

Par analyse fonctionnelle, ou étude de fonction, nous entendons une série d'étapes à travers lesquelles vous pouvez comprendre et étudier le comportement des fonctions, selon certains résultats, dans le but de retourner son graphique de manière concrète.

Étapes pour effectuer une analyse fonctionnelle ou une étude de fonction.

Les étapes pour réaliser une étude de fonction sont essentiellement 8:

LEensemble ns de définition (ou de domaine);
Étude d'égalité ou de disparité de la fonction;
Intersections avec les axes;
Étude du signe de la fonction;
Limites aux extrêmes du domaine et / ou limites « pertinentes »;
Étude dérivée d'abord;
Deuxième dérivé avec une étude de convexité et des points de flexion;
Conception graphique de fonction (approximative ou exact).

1) Étude du domaine d'une fonction

Le Domaine d'une fonction, ou ensemble de définition, est qu'une partie de R ou C (ou d'autres dépend du type de variable qui est étudiée) dans lequel y = f (x) existe ou est défini.
Pour déterminer le Domaine D'une fonction, il est nécessaire et suffisant pour identifier les points où la fonction n'existe pas. Pour ce faire, nous devons briser la fonction que nous étudions dans les fonctions élémentaires dont le Domaine et déterminer le plus grand ensemble de r, c, ect., Dans lequel toutes les conditions sont vérifiées simultanément.

Conditions d'existence des fonctions élémentaires:

Rapports: Divi différent de 0;
Logarithmi: Sujet différent de zéro;
Racines d'indice égal: radical supérieur à zéro;
Arcoseno / Arcoseno: sujet entre -1 et 1 (avec une double inégalité);
Exponentiel avec base variable: base de zéro plus grande;
Poitrine / cosinus: ils sont définis sur r;
Et d'autres …

Une fois que nous aurons identifié les différentes conditions d'existence, nous irons à un système dans lequel nous insérerons toutes les conditions trouvées et identifierons une condition globale.

2) Étude d'égalité et de disparité

L'étude de cette propriété est très utile car, si une fonction était Même ou Coups de feunous saurons que la fonction que nous étudions sera symétrique par rapport à l'axe y ou à l'origine (0; 0), cela nous permet, dans certains cas, d'étudier seulement une partie du graphiste et de déduire le reste pour la symétrie.

En cas de lien de la fonction, alors f (-x) = f (x) et cela nous indique que la fonction est symétrique par rapport à l'axe y.

–Exemple: y = x ^ 2 représente la fonction de la parabole avec le centre à l'origine. F (x) = x ^ 2 = (-x) ^ 2 = f (-x) et cela nous dit que la parabole est symétrique par rapport à l'axe y.

Dans le cas de la disparité de la fonction, alors f (-x) = -f (x) et cela nous dit que la fonction est symétrique par rapport à l'origine (0,0)

-Espempio: y = x ^ 3 représente la fonction du cube passant par l'origine. F (x) = x ^ 3 = (-x) ^ 3 = -x ^ 3 = -f (x) Cela nous dit que la fonction est
Symétrique par rapport à l'origine (0,0)

NB L'étude du domaine d'une fonction nous aide en plus de comprendre quand il est nécessaire d'étudier la symétrie d'une fonction. En fait, si nous nous retrouvons devant un domaine symétrique par rapport à l'origine, comme (-4; 4), (-1) u (1, + ∞) etc., alors il vaut la peine de comprendre si la fonction est égale ou étrange, sinon nous savons déjà qu'il ne peut pas être égal ou étrange.

3) intersections avec les axes

Le intersections avec les axes d'une fonction y = f (x) sont les points où le graphique coupe le Axes cartésiennes.

Pour calculer les intersections, il est nécessaire d'imposer dans la fonction d'origine le cas dans lequel x = 0 ey = 0 et à chaque fois de calculer les autres coordonnés, également recours aux fonctions inverses, pour trouver le point d'intersection.

NB Si le point x = 0 appartient au domaine de la fonction, il coupera l'axe y, sinon non.

-Sempio: Prenons la fonction y = x ^ 2 par exemple.

Intersection avec l'axe x. Nous définissons donc y = 0 et calculons x ^ 2 = 0. À l'heure actuelle, la fonction inverse de l'exponation que nous obtenons x = 0 afin que la fonction coupe l'axe x en x = 0
Intersection avec l'axe y. Nous définissons x = 0 et nous réaliserons que y = 0 ^ 2 = 0 alors la fonction coupe l'axe y en y = 0.

Nous trouvons donc la définition de la fonction y = x ^ 2, c'est-à-dire la parabole face vers le haut centrée en (0; 0) (selon le graphique).

4) Étude du signe d'une fonction

Étudier le Signe d'une fonction sert à comprendre dans quelle partie de son domaine est positive, c'est-à-dire au-dessus de l'axe x, et / ou négatif, c'est-à-dire en dessous de l'axe x.

Pour connaître le Signe Nous avons juste besoin d'étudier la collation f (x)> 0, en nous rappelant de ne prendre que les pièces qui appartiennent au domaine car elle n'existe pas à l'extérieur.

-Epempio: Nous étudions le signe de la fonction x ^ 3. Son domaine est R.
Nous définissons donc x ^ 3> 0 et en recourant à la fonction inverse, nous découvrirons que l'inégalité est satisfaite pour tous les x> 0. La fonction est donc positive sur (0; + ∞), négative sur (-ilds; 0) et vaut 0 en x = 0 (selon le graphique ci-dessus).

NB à ce stade Si nous ajoutons également la condition supplémentaire sur le signe dans lequel x = 0, nous trouverons à la fois l'intersection avec l'axe y et le signe de la fonction.

Si vous voulez plus de conseils pour faire face au sujet, jetez un œil à cette méthode d'étude des fonctions proposées sur le blog de Skuola.net | Répétitions

5) Limites aux extrêmes de domaine

Afin de pouvoir dessiner efficacement le graphique de fonction Nous devons comprendre où il tend à l'approche du Extrême de son domaine.
Pour ce faire, les extrêmes sont identifiés et le X leur est fait.

Exemple. Nous considérons la fonction y = x ^ 2. Son domaine est (-Lar; + ∞), c'est-à-dire, tout R. maintenant pour comprendre où il a tendance à quand il tend à +/- ∞, nous étudierons la valeur de la limite de x ^ 2 lorsqu'il tend à +/- ∞. Dans les deux cas, nous découvrirons qu'il y aura des limites à + ∞, nous saurons donc quelle tendance aura la fonction lorsque nous aborderons l'infini. (selon le graphique ci-dessus)

Identification des asymptots horizontaux et obliques.

Si la limite à +/- ∞ tend à une infinie, il n'y a pas d'asymptote horizontale. Contrairement s'il tend à un nombre réel « a » signifie que la ligne y = a est une asymptotique horizontale de la fonction.

Pour calculer les asymptotes obliques, nous procéderons de cette manière:

Calcul de la limite à + ∞ de f (x) / x. S'il tend à un infini, il n'y aura pas d'asymptotique oblique.
Si la limite à + ∞ de f (x) / x tend à un véritable « M », alors la limite à + ∞ de (f (x) -mx) est calculée. Et si la limite tend à une infinie, il n'y a pas d'asymptote oblique, si elle tend à un véritable « Q », alors il y a une asymptotique oblique d'équation: Y = mx + q avec q qui peut également être nul.

6) Première étude dérivée

Cette étape est très importante car l'étude du dérivé nous donne des informations importantes sur monotonie de la fonction, c'est-à-dire la croissance et la diminution de celui-ci dans son domaine.

Pour procéder à cette étape, il est nécessaire de connaître 2 choses fondamentales:

Savoir comment identifier les points où une fonction y = f (x) est dérivable;
Savoir dériver une fonction y = f (x).

En général, le premier point est très souvent omis car il nécessite une connaissance de certains concepts qui ne sont pas toujours expliqués aux supérieurs, et très souvent les étudiants, même à l'université, oublient cette règle fondamentale.

Dans le but de retourner le graphique, le premier point peut souvent être négligé, mais en tout cas, il serait toujours nécessaire de garder à l'esprit.

Une fois calculé le dérivé de la fonction que nous devons placer:

F '(x)> 0

L'ensemble des points où la dérivée sera positive sont les points où la fonction y = f (x) augmentera. Dans le reste du domaine, il diminuera, c'est-à-dire un dérivé dérivé négatif.

Par la suite, une autre condition est imposée au dérivé:

F '(x) = 0

Cette condition nous donnera des candidats valides de points maximum et minimum de la fonction y = f (x).

7) Étude du deuxième dérivé

Cette dernière étape nous donnera des informations sur les domaines de Concavité et convexité. Dans cette phase, nous procédons d'abord de manière similaire au dérivé.

Nous calculons d'abord la dérivée du dérivé d'abord, c'est-à-dire la seconde dérivée de la fonction d'origine:
Y = f « (x)
Ensuite, nous identifions les points où le deuxième dérivé est positif:
F « (x)> 0
Les domaines de positivité et de négativité du deuxième dérivé nous indiquent les domaines de concavité et de convexité de la fonction. Les zones positives auront une concavité ascendante et les négatives donneront une concavité vers le bas. Indiqué par une petite parabole orientée vers le haut ou vers le bas dans le graphique de la deuxième étude dérivée.

Enfin, nous définissons le dérivé deuxième égal à zéro:

F « (x) = 0

Ce faisant, nous identifions les points de flexion possibles, c'est-à-dire les points où la fonction change de concavité.

8) Conception graphique de fonction

Nous devons simplement dessiner le graphique de la fonction en tenant compte de toutes les informations précédentes.

Nous dessinons les axes cartésiens
Nous marquons les points où la fonction coupe l'axe Xe y.
Compte tenu des domaines de positivité et de négativité, nous annulions les domaines où la fonction n'existe pas.
Nous traces des asymptotes verticales, horizontales et obliques, en cas d'existence.
Nous identifions les points de maximum et minimum.
Nous identifions le point fléchi.
Zones de croissance et de diminution et des zones de concavité et de convexité.
Nous dessinons le graphique.

Analyse mathématique fonctionnelle: explication complète

Définition