L'algèbre linéaire est une branche des mathématiques qui concerne les équations et les systèmes linéaires et leur représentation, par le biais de matrices et de transporteurs dans l'espace. L'algèbre linéaire a un rôle central dans presque tous les domaines des mathématiques.
Cette discipline est fondamentale Dans les présentations modernes de la géométrie, également pour la définition d'objets de base tels que les lignes, les plans et les rotations.
L'algèbre linéaire n'est pas particulièrement difficile, mais certains concepts de base peuvent s'avérer un peu complexes à comprendre pour les débutants qui les étudient pour la première fois. Ne vous inquiétez pas, cependant, car, grâce aux explications de cet article, vous pourrez résoudre les problèmes en tant que professionnel des mathématiques.
Ce que l'algèbre linéaire étudie
De nos jours, l'algèbre linéaire Il est également utilisé dans la plupart des domaines scientifiques et d'ingénierie, car il vous permet de modéliser de nombreux phénomènes naturels et de les calculer à travers ces modèles.
Il a ses origines dans l'étude des vecteurs dans les espaces cartésiens à deux dimensions. Dans ce cas, un transporteur est un segment orienté, caractérisé par la longueur, la direction et le verset.
Les vecteurs peuvent être utilisés pour représenter certaines entités physiques telles que les forces. Un espace vectoriel est défini sur un champ, comme le champ des nombres réels. Dans un espace vectoriel, il est possible d'effectuer des transformations linéaires, qui sont représentées par des matrices.
L'algèbre linéaire joue également un rôle important dans l'analyse, en particulier dans la description des dérivés d'ordre supérieur dans l'analyse vectorielle et dans la résolution des équations différentielles.
Connaissances de base pour étudier l'algèbre linéaire
Avant de plonger dans la voie de l'algèbre linéaire, nous devons avoir des connaissances assez solides sur certains sujets essentiels, qui représentent les principaux piliers des mathématiques.
Les monomes et les polynomes
Sans le savoir de ces deux sujets, il est impossible de savoir comment résoudre des exercices d'algèbre linéaires. Pour cette raison, il vaut mieux faire un examen rapide:
- Un monomium est une expression littérale dans laquelle seules les multiplications, divisions et pouvoirs apparaissent parmi les lettres.
- Un polynôme, en revanche, est une somme algébrique entre deux monomes ou plus, donc les ajouts et les soustractions apparaissent également.
Exemple: 3A²B³ c'est un monomium, tandis que 3a² + b³ C'est un polynôme (somme entre deux monomes: 3A² Et b³).
En parlant de monomes et de polynomes, nous ne pouvons manquer de mentionner des produits remarquables. Ce ne sont rien de plus qu'une multiplication entre divers polynomes. Voici les plus importants (les majuscules représentent Monomi):
Somme par différence⇒ (a + b) (ab) = a²-b²
Carré de binôme⇒ (a + b) ² = a² + 2ab + b²
Carré de trinomio⇒ (a + b + c) ² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
Cube de trinomio⇒ (a + b) ³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Les hameaux algébriques
Lorsque la relation entre deux polynomes est établie, vous avez une fraction algébrique. Formé par des polynomes, cela dépend des lettres dont elles sont formées. Par conséquent, une fraction algébrique perdra un sens pour certaines valeurs des lettres.
Prenons un exemple: le hameau 
il n'a aucun sens quand le x Cela vaut 2, car dans ce cas, le dénominateur est nul. Lorsque nous traitons des fractions algébriques, nous devons donc déterminer les conditions d'existence de ce dernier. Dans notre exemple, nous écrire ce CE: x ☎ 2.
Si vous êtes perplexité sur les fractions algébriques, ou pour plus d'informations, lisez l'article de notre blog sur ce qui suit lien.
Les équations linéaires
La première application pratique de l'algèbre linéaire est les équations de première instance. Une équation est une égalité où les expressions littérales apparaissent pour lesquelles nous devons rechercher les valeurs d'inconnues, de ces expressions, qui rendent l'égalité vraie.
Il existe différents types d'équations:
- entier, si l'inconnu n'est présent qu'au numérateur;
- Fratta, si l'inconnu apparaît également au dénominateur;
- littéral, si en plus de l'inconnu X, il y a aussi d'autres lettres.
Pour en savoir plus sur l'explication sur les équations linéaires et pour savoir comment elles résolvent, consultez notre guide à ce qui suit lien.
Algèbre et systèmes linéaires
Les systèmes linéaires peuvent être définis comme des ensembles d'équations ou des inégalités, que je dois tous être vérifiés en même temps, ils doivent donc avoir les mêmes solutions.
Comme vous le savez, une équation linéaire sur le plan cartésien représente une ligne droite. Un système d'équations multiples représentera donc le point d'intersection entre les frais des équations dont il est formé.
Dans le graphiste, par exemple, le système 
Il représente deux lignes droites qui se rencontrent au point (2,3).
Quant à la résolution d'un système au premier degré, il existe différentes procédures. Les plus utilisés sont quatre: méthode de remplacement, méthode de comparaison, résolution de réduction et méthode Cramer.
Un système comme celui-ci 
Il peut être classé de trois manières, en fonction de ses solutions:
- Déterminé si
Il représente donc deux taux droits. - Indéterminé si
Il représente donc deux lignes droites coïnciales. - Impossible si
Il représente donc deux lignes droites parallèles.
Exercices d'algèbre linéaire
Pour apprendre l'algèbre linéaire, la théorie ne suffit pas, mais vous devez également être qualifié pour effectuer les exercices. Voyons maintenant quelques exercices classiques qui pourraient vous aider à résoudre les problèmes de l'algèbre que votre professeur vous attribue.
Exercices sur les transporteurs
L'un des exercices les plus populaires, non seulement en mathématiques, mais aussi en physique, est la somme entre deux vecteurs. Cela peut être calculé par la méthode du parallélogramme.
C'est le cas de l'année suivante, dont le piste dit: «Calculez le module de résumé Somma 
des deux transporteurs 
Et 
du module A = 12 EB = 9, sachant que le coin formé par les deux porteurs mesure 90 °.
Le vecteur de résumé correspond à la diagonale du parallélogramme formé par et de Comme dans la figure. Pour calculer la forme de Nous devons appliquer le théorème du cosinus:
Le remplacement des valeurs AE de B sortira que 
.
Exercices avec des systèmes
Après l'avoir réduit sous forme normale en appliquant les principes d'équivalence des équations, pour résoudre un système, différentes méthodes peuvent être utilisées.
L'exercice que nous allons résoudre sera avec la méthode de remplacement.
Le système est le suivant 
. Pour résoudre ce système, nous devons d'abord obtenir le y De la première équation, de cette manière:
. Maintenant, nous remplaçons le y Dans la deuxième équation, l'expression
Trouvé. 
⇒ 
⇒ 
.
Maintenant, allons le x À partir de la deuxième équation, ajoutant des termes similaires et simplifiant:
⇒ 
⇒ 
.
Remplacement x Dans la première équation, la valeur trouvée et nous calculons Y: 
⇒ 
Le couple (0; 1) est la solution du système.
