Comment résoudre les équations

Les mathématiques sont l'une des matières qui mettent davantage les jeunes étudiants en crise.

Combien de fois vous êtes-vous retrouvé devant une équation qui décide de ne pas être résolue? Malgré vos innombrables tentatives, votre résultat est toujours inévitablement différent de celui du livre.

Comment faire dans ces cas?

Tout d'abord, vous devez connaître l'ennemi: les équations. Que sont-ils exactement?

Qu'est-ce qu'une équation?

Une équation est une égalité mathématique entre deux expressions contenant une ou plusieurs variables, appelées inconnues.

Classification des équations

Une première classification des équations peut avoir lieu de cette manière:

Équations algébriques

Les équations algébriques peuvent être divisées en différents groupes en fonction de leurs caractéristiques; Il est nécessaire de se rappeler qu'une équation doit appartenir au moins et une seule des catégories de chaque groupe.

Sur la base du degré du polynôme, les équations peuvent être de:

1er degré ou équations linéaires;
2e degrés ou équations carrées;
3e degré ou équations cubiques;
et ainsi de suite.

Équations homogènes

Il est défini comme une équation homogène, une équation algébrique dans plusieurs variables dont les termes ont tous le même degré.

Équations transcendantes

Les équations transcendantes impliquent au moins une inconnue comme sujet d'une fonction non polynomiale.

Équations avec des valeurs absolues

Les équations avec des valeurs absolues contemplent au-delà des inconnues la présence de la valeur absolue des expressions algébriques ou transcendantes.

Équations fonctionnelles

Les équations fonctionnelles ont au moins un homme inconnu qui est une fonction.

Basé sur des expressions littérales

Sur la base de la présence d'autres expressions littérales, toutes les équations peuvent être divisées en:

Les équations numériques, elles ne contiennent que des expressions numériques et l'inconnu;
Équations paramétriques, dans lesquelles les inconnues sont des fonctions exprimées en fonction d'un ou plusieurs paramètres.

Donc, après avoir dit exactement Que signifie résoudre une équation?

La résolution d'une équation signifie identifier l'ensemble des valeurs de toutes ses inconnues pour lesquelles l'égalité est vérifiée. C'est pour trouver ses solutions.

Résoudre une équation

En mathématiques, pour résoudre une équation, nous entendons la recherche des éléments qui satisfont l'équation respective (deux expressions unies par égalité).

Ces expressions contiennent une ou plusieurs inconnues, qui sont des variables libres pour lesquelles les valeurs qui rendent la condition exprimée par l'équation sont satisfaites sont recherchées. Pour être précis, cela signifie généralement que ces valeurs ne sont pas nécessairement des valeurs réelles, mais, en réalité, ce sont souvent des expressions mathématiques.

Une solution de l'équation est une affectation d'expressions aux inconnues qui satisfait l'équation, en d'autres termes, lorsque ces résultats sont remplacés par les inconnues, l'équation devient une tautologie (une prouvance qui s'avère vraie).

Pour résoudre une équation, il est nécessaire de bien connaître certaines règles: les principes de l'équivalence.

Les principes de l'équivalence

Premier principe de l'équivalence: étant donné une équation, en ajoutant ou en soustrayant les deux membres le même nombre ou expression contenant l'inconnu des deux membres, une équation équivalente est obtenue. À condition que, en cas d'ajout d'une expression dépendante d'une inconnue, les conditions d'existence ne sont pas restreintes.
Exemple:

4x + 13 = 28 \ ;;

4x + 13 \ Underline {+2} = 28 \ Underline {+2} \ ;;

4x + 15 = 30 \;

Règle de transport: Compte tenu d'une équation, en transportant un terme d'un membre à un autre et en le modifiant de Mark, vous obtenez une équation équivalente.
Exemple:

9x ^ {{2}} = 12x-4 \ ;;

9x ^ {{2}} - 12x + 4 = 0 \;

Règle d'annulation: Compte tenu d'une équation, s'il y a des termes égaux dans les deux membres, ils peuvent être supprimés en obtenant une équation équivalente.
Exemple:

5x ^^ {{2}} + 7x \ Underline {-3} = 3y ^ {{2}} \ Underline {-3} \ ;;

5x ^ {{2}} + 7x = 3y ^ {{2}} \;

Deuxième principe d'équivalence: étant donné une équation, multipliant ou divisant les deux membres par un nombre autre que zéro, ou par une expression contenant l'inconnu qui n'annule pas la valeur de l'inconnu lui-même, et qui ne restreint pas les conditions d'existence, une équation équivalente est obtenue.
Exemple:

25x ^ {{2}} - 10x + 1 = 5x-1 \ ;;

(5x-1) ^ {{2}} = 5x-1 \ ;;

{\ Fracc {(5x-1) ^ {{2}}} {5x-1}} = {\ fracc {5x-1} {5x-1} \ ;;

5x-1 = 1 \;

Règle du changement de signe: Compte tenu d'une équation, en modifiant un signe en termes de tous les deux membres, une équation équivalente est obtenue.
Exemple:

4x-2x ^ {{2}} = 1 \ ;;

- (4x-2x ^ {{2}}) = - (1) \ ;;

2x ^ {{2}} - 4x = -1 \;

Équations au premier degré

Après avoir vu les règles de base pour la résolution des équations, nous commençons à comprendre comment les résoudre.

Les équations les plus simples à résoudre sont des équations linéaires (c'est-à-dire le grade 1).
Voici un exemple:

{\ DisplayStyle 2x + 3 = 10 \;}

La technique fondamentale est d'ajouter, de soustraire, de multiplier ou de diviser les deux membres d'une équation pour le même nombre. Puis répéter ce processus plusieurs fois, apprenez à exprimer la valeur du $x$ .
Dans l'exemple précédent, si nous soustrayons 3 des deux membres, nous obtenons:

{\ DisplayStyle 2x = 7 \;}

Puis en divisant les deux membres par 2, nous obtenons la solution:

{\ DisplayStyle x = {\ fracc {7} {2}}}

Équations du deuxième degré

Après avoir vu les équations des premiers degrés, découvrons maintenant quelles sont les équations du deuxième degré.

En mathématiques, une équation du deuxième degré ou carré à une inconnue $x$ Il s'agit d'une équation algébrique dans laquelle le degré maximum auquel l'inconnu apparaît est 2, et il est toujours attribuable à la forme:

ax ^ 2 + bx + c = 0 \ qquad \ mbox {(avec} a \ ne 0 \ mbox {)}

Pour le théorème fondamental de l'algèbre, les solutions (également appelées racines ou zéros de l'équation) des équations au deuxième degré dans le domaine complexe sont toujours deux, si elles sont comptées avec leur multiplicité. Dans le domaine réel, en revanche, les équations carrées peuvent admettre deux solutions, une double solution ou aucune solution.

Équations complètes et formule décisive générale

Une deuxième équation polynomiale de degrés est dite Équation carrée complète Lorsque tous ses coefficients sont différents de 0. Il est résolu avec la méthode d'achèvement ainsi $(A + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2$ .

Tout d'abord que nous apportons $c$ au deuxième membre:

{\ DisplayStyle ax ^ {2} + bx = -c.}

Nous multiplions pour $4e$ Les deux membres, obtenant:

{\ DisplayStyle 4a ^ {2} x ^ {2} + 4abx = -4ac.}

Nous notons que

4a ^ 2x ^ 2 = (2ax) ^ 2

et que

4abx = 2 \ cdot (2ax) \ cdot b

Nous pouvons donc considérer le terme $2ax$ comme le $À$ de la formule du carré binomial e $4abx$ Comme le double produit $2AB$ où le $B$ c'est la même chose que $b$ Par conséquent, pour nous assurer que le premier membre est un carré de binôme, nous ajoutons les membres de l'équation aux deux $b ^ 2$ :

{\ DisplayStyle 4a ^ {2} x ^ {2} + 4abx + b ^ {2} = b {2} -4ac,}

c'est-à-dire:

{\ DisplayStyle (2ax + b) ^ {2} = b ^ {2} -4ac.}

Le deuxième membre de cette équation est dit discriminant Et généralement il est indiqué par la lettre grecque $\Delta$ (Delta). Si $B ^ 2 - 4AC$ Il est négatif qu'il n'y a pas de véritables solutions, car le premier membre, étant un carré, augmente ou est égal à ${\ DisplayStyle 0}$ . Sinon, nous pouvons écrire:

2ax + b = \ pm \ sqrt {b ^ 2 - 4AC}

qu'avec des étapes simples, nous pouvons réécrire comment:

X = \ fracc {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}

Ce dernier est connu comment formule décisive des équations au deuxième degré.

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