Un paradoxe est, génériquement, La description d'un fait qui contredit l'opinion commune ou l'expérience quotidienne, gérant ainsi surprenant, extraordinaire ou bizarre.
Plus précisément, dans un sens logique-linguistique, il indique à la fois un raisonnement qui semble invalide, mais qui doit être accepté, et un raisonnement qui semble correct, mais qui conduit à une contradiction.
Vous pourriez être étonné de voir à quel point les paradoxes mathématiques intéressants sont réellement intéressants. En fait, le paradoxe est un stimulus puissant pour la réflexion.
Il révèle à la fois la faiblesse de notre capacité à discerner et les limites de certains outils intellectuels pour le raisonnement.
Allons ensemble pour découvrir ces paradoxes mathématiques insoupçonnés et fascinants.
Paradoxe de l'hôtel Hilbert Grand
Le paradoxe du Grand Hôtel est un célèbre paradoxe inventé par le mathématicien David Hilbert pour montrer certaines caractéristiques du concept d'infini. Voici ce qu'il dit.
Hilbert imagine un hôtel avec des chambres infinies, toutes occupées. Et il dit que quel que soit le nombre d'autres invités qui viennent, il sera toujours possible de les héberger tous. Même si leur nombre est infini.
Dans le cas simple, un seul nouvel invité arrive. L'hôtelier intelligent déplacera tous les clients dans la chambre voisine (l'invité de 1 à 2, celui de 2 à 3, etc.).
De cette façon, bien que l'hôtel soit plein, il est toujours infini, il est possible de réparer le nouveau client.
Paradoxe d'anniversaire
Le paradoxe d'anniversaire (ou problème d'anniversaire) est un paradoxe de la théorie des probabilités définie en 1939 par Richard von Mises.
Le paradoxe indique que la probabilité qu'au moins deux personnes dans un groupe tourne les années le même jour est largement plus élevée que l'intuition pourrait dire.
En fait, déjà dans un groupe de 23 personnes, la probabilité est d'environ 0,51. Alors que avec 30 personnes, il dépasse 0,70, avec 50 personnes, il touche même 0,97.
Même si pour accéder à l'événement, bien sûr, il est nécessaire de considérer un groupe d'au moins 366 personnes (367 si vous considérez l'année bisstile).
Paradoxe des deux enfants
Une question célèbre de théorie des probabilités, apparemment simple mais en réalité ambiguë et dont l'étude mène à une réponse contre-intuitive, serait dit des deux enfants.
Il est souvent mentionné pour mettre en évidence la facilité avec laquelle dans le contexte de la probabilité, la confusion peut également survenir dans des contextes qui, à première vue, semblent être compliqués à analyser.
La question en question est, dans l'une des premières formulations:
M. Smith a deux enfants. Au moins l'un des deux est un homme. Quelle est la probabilité que les deux enfants soient des hommes?
La réponse intuitive est que si, nous définissons, le premier enfant est un homme, la probabilité que l'autre soit aussi de 1/2 = 50%.
En réalité, la question est posée de manière ambiguë (il est facile de penser qu'avec « au moins un » que nous entendons « certainement que j'ai clairement identifié – et peut-être l'autre aussi »).
Une éventuelle reformulation – intuitivement équivalente – qui n'émerge pas à l'ambiguïté est la suivante:
M. Smith a deux enfants. Ce ne sont pas deux femmes. Quelle est la probabilité que les deux enfants soient des hommes?
Il n'est pas difficile, en utilisant des outils de probabilité classiques simples, pour découvrir que la réponse est alors 1/3 = 33,3%.
Remarque: Ce paradoxe si appelé n'a rien à voir avec le fait que dans la nature, le nombre de fils mâles est différent du nombre de femmes. En fait, il est supposé que la probabilité d'un enfant masculin est a priori égal à celle d'une fille féminine: 1/2.
Paradoxe de Russell
Le paradoxe de Russell a été formulé par le philosophe britannique et Bertrand Russell logique et logique entre 1901 et 1902. Ce paradoxe est l'un des antinomies les plus importantes de l'histoire de la philosophie et de la logique.
Il peut être énoncé comme ceci:
L'ensemble de tous les ensembles qui n'appartiennent pas à vous-même appartient à lui-même si et seulement s'il ne s'appartient pas à lui-même.
C'est plus correctement une antinomie qu'un paradoxe. Un paradoxe est une conclusion logique et non contradictoire qui se heurte à notre façon habituelle de voir les choses.
Bien qu'une antinomie soit une proposition qui est auto-confidentielle à la fois dans le cas où elle est vraie et dans le cas où elle serait fausse.
L'antinomie de Russell peut être exprimée d'une manière « intuitif« Au moyen d'autres formulations, comme le paradoxe du coiffeur ou celle du bibliothécaire.
En outre, il est basé sur un raisonnement similaire à ce qui conduit au paradoxe de la stéologie de Grelling-Nelson, qui, finalement, également au paradoxe du mensonge.
Paradoxe du coiffeur
Le paradoxe du coiffeur est une antinomie formulée par le philosophe britannique et le philosophe logique et logique Bertrand Russell en 1918. L'antinomie peut être indiquée comme suit:
Dans un village, il n'y a qu'un seul coiffeur, un homme bien entraîné, qui a tout et seulement les hommes du village qui ne se rasent pas seuls. Qui rasage le coiffeur?
Si, comme cela apparaissait plausible, le coiffeur était rasé seul, la prémisse selon laquelle les raies de coiffure ne font que les hommes qui ne se rasent pas seuls seraient contredits.
Si, en revanche, le coiffeur ne s'inverse pas indépendamment, alors il doit être rasé par le coiffeur, mais c'est lui-même: dans les deux cas, on tombe en contradiction.
La similitude avec le paradoxe de Russell réside dans le fait que le village de coiffure pourrait être considéré comme divisé en deux parties:
- Celui des hommes qui sont rasés seuls (qui peuvent être assimilés à la catégorie des ensembles qui appartiennent à eux-mêmes dans la version originale de l'antinomie).
- Celui des hommes qui, ne se lèvant pas eux-mêmes, sont rasés par le coiffeur (dans la version originale, les ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes).
Le problème est dans quelle catégorie le coiffeur est inclus. En fait, si elle a été incluse dans la première, si elle était incluse dans la seconde, la situation serait contradictoire.
Le coiffeur est un tout qui appartient à lui-même si et seulement s'il n'appartient pas à lui-même.
