L'algèbre linéaire est un outil central dans de nombreux domaines de mathématiques et possède de nombreuses applications pratiques. Parfois, il est utilisé pour approximer les modèles non linéaires, par exemple dans les régressions linéaires, ou dans l'analyse de petits signaux pour les transistors. Aujourd'hui, cette discipline est essentielle pour de nombreuses carrières professionnelles, comme celles des ingénieurs.
Autovalors, autoversers, opérations sur les espaces vectoriels, transformations linéaires, algèbre des matrices, déterminants, matrices inverses, pseudo-ironie et bien plus encore. Comme vous pouvez le voir, l'algèbre linéaire concerne de nombreux domaines de mathématiques et au-delà, c'est pourquoi il est si important d'étudier.
Ce que l'algèbre linéaire étudie
L'algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui traite de l'étude des porteurs, des espaces vectoriels, des transformations linéaires et des systèmes d'équations linéaires.
Les vecteurs sont des segments orientés avec la longueur, la direction et le verset. Ils peuvent être utilisés pour représenter certaines entités physiques telles que les forces.
Dans cette branche des mathématiques, les propriétés des matrices sont donc étudiées, et les algorithmes pour calculer les quantités importantes qui les caractérisent, comme le rang, le déterminant et l'ensemble de ses auto-cartes.
Dans l'analyse mathématique, il est d'une importance fondamentale pour la description des dérivés d'ordre supérieur, pour l'analyse vectorielle et pour la résolution des équations différentielles.
L'algèbre linéaire a également une application en béton en géométrie analytique. De plus, tous les phénomènes linéaires sont étudiés, non seulement dans le domaine de la physique, mais aussi dans celui des sciences naturelles et sociales.
L'algèbre linéaire comme un outil de pensée
Cette discipline, en outre, toutes les mathématiques, seul un ensemble de formules peut sembler à première vue, pensez simplement au calcul littéral. Cependant, l'algèbre linéaire est un formidable outil de pensée qui vous permet de modifier les problèmes et les situations auxquels nous sommes confrontés.
La bonne connaissance de l'algèbre doit également être acquise car cela nous permet d'exprimer et de démontrer des propriétés. Par exemple, à votre avis, est-il vrai que si un nombre est divisible par 6, il est également divisible par 2?
Eh bien, si nous essayions de faire une table, nous nous rendrons compte que la déclaration est vraie. Mais cela ne suffit pas, cependant, car les nombres naturels divisibles par 6 sont infinis. Alors, comment prouver le raisonnement mathématique?
Si un nombre est divisible de 6, alors dans sa décomposition en premiers facteurs au moins un 3 et un 2 devra apparaître. Comme vous pouvez le voir, si dans la décomposition, il apparaît sur le 2e, alors le nombre en plus d'être divisible par 6, il sera également pour 2.
L'algèbre linéaire nous permet de formaliser ce raisonnement à travers une langue mathématique:
Nous appelons notre numéro n. Étant divisible par 6, alors nous pouvons écrire cela 
,Où t C'est un autre nombre naturel. Nous décomposons 6 comme 2 * 3, puis 
. Enfin, nous pouvons écrire n comme le produit de 2 pour un autre numéro qui est 3T ⇒ 
.
Par l'algèbre linéaire, nous avons donc réussi à dire que N est un multiple de 2: 
(Où K = 3T)
Systèmes linéaires
Parmi les diverses raisons d'étudier l'algèbre linéaire, il y a la résolution des systèmes linéaires. Grâce à l'utilisation de cette partie des mathématiques, nous sommes en mesure de résoudre les systèmes d'équations de première grade.
Ces types d'exercices sont très importants car ils sont liés à la géométrie analytique, qui est utilisé, par exemple, dans les graphiques vectoriels (traductions, rotations, etc.), pour créer des animations, pour les cartes, pour l'astronomie et bien plus encore.
Pour résoudre un système, il existe différentes manières. Essayons maintenant d'en résoudre un avec la méthode de comparaison:
Nous avons le système suivant 
pour le résoudre, nous pouvons dériver le même inconnu, dans ce cas le xdepuis
Les deux équations:
. Maintenant, nous pouvons égaler les deux termes en noir, étant à la fois égaux à x.
de cette façon, nous n'avons obtenu une équation que dans une inconnue, à savoir le y. Ce oui
il peut résoudre ceci: 
⇒ 
. Maintenant, nous n'avons qu'à résoudre l'autre équation
Remplacement du y Comme nous l'avons découvert, cela vaut –2 
⇒ 
Pourquoi devons-nous étudier l'algèbre linéaire?
Comme déjà mentionné précédemment, l'algèbre linéaire, et en particulier le calcul littéral, est essentielle pour schéfier, généraliser et faire un cas observé une loi, qui s'applique aux valeurs qui sont affectées aux lettres d'une formule.
Pensez simplement aux logiciels, aux jeux électroniques, ils se basent tous sur ce concept. Mais quelqu'un pourrait penser: à quoi sert le calcul littéral, si le calcul avec les chiffres existe déjà?
Pour répondre à cette question, je vous pose une énigme: essayez de penser un nombre entre 1 et 10, multipliez-le par 3. Maintenant, ajoutez 4 au résultat; Ajoutez maintenant à nouveau le numéro de départ. Divisez tout ce qui sort pour 4 et soustrayez le nombre que vous pensiez au début. Je parie que le résultat final sera de 1.
Il n'y a pas de maquillage magique! Appliquez simplement le calcul littéral: nous indiquons avec la lettre à Le nombre entre 1 et 10 que je vous ai demandé de penser. Ensuite, je vous ai demandé de le multiplier par 3 et d'ajouter au produit 4. Par conséquent, nous aurons 3à+4. Nous ajoutons à nouveau le numéro de départ, puis à : 3a + 4+ A ⇒ 4a + 4 ⇒ 4 (a + 1)
Je vous ai demandé de tout diviser par 4, et plus tard pour soustraire A: (4 (A + 1))/ 4 ⇒ a + 1; A + 1-à ⇒ 1 . Comme vous pouvez le voir donc, n'importe quel nombre que vous remplacez l'annonce àle résultat sera toujours 1.
Vous devez donc en faire une raison: le monde des mathématiques, et pas seulement, est fait de formules; C'est la raison pour laquelle il est nécessaire de travailler à la fois avec des chiffres et des lettres.
Algèbre et matrices linéaires
L'un des principaux sujets de l'algèbre linéaire est les matrices. Ceux-ci sont confrontés pendant la période de deux ans des supérieurs, en raison de la méthode Cramer pour la résolution des systèmes et au cours de la première année de l'université.
L'utilisation des matrices remonte au premier siècle avant JC aujourd'hui est principalement utilisée pour le fonctionnement des ordinateurs, mais sont également essentielles en mécanique, en chimie ou en mathématiques financières.
Une matrice est une table entière, plus précisément, de nombres organisés en colonnes et en lignes; Comme dans cet exemple: 
. Nous appellerons m Le nombre de lignes E n celui des colonnes, dans ce cas m = 2 Et n = 3.
Il existe différents types de matrices:
- Matrice carrée, où m = n, ou sa « forme » est attribuable à celle d'un carré car le nombre de lignes est le même que le nombre de colonnes. La diagonale principale d'une matrice carrée est définie, la porteuse composée des éléments qui forment la diagonale, du « carré », du haut à gauche vers le bas à droite.
- Rien de matrice, ainsi appelée car elle n'est constituée qu'à partir de 0.
- Matrice d'identité, celle dont la diagonale principale est composée de seulement 1.
Comme pour les nombres, même avec les matrices, il est possible d'effectuer des opérations arithmétiques, l'ajout et le produit, tant que les matrices ont le même nombre de lignes et de colonnes.
