L'un des sujets les plus importants des mathématiques est les fonctions. Ceux-ci sont étudiés en particulier au cours de la dernière année des supérieurs et constituent l'objet principal sur lequel le deuxième test de l'examen de maturité du lycée scientifique se concentre généralement.
Ils représentent également un énorme obstacle pour ceux qui sont dans la première année de l'université, qui devra faire face à l'examen d'analyse 1. Mais voyons maintenant comment les étudier de la manière la plus simple.
Quelles sont les fonctions mathématiques
Donnez deux ensembles A et B, une fonction est une relation qui s'associe à chaque nombre réel d'un seul nombre de B.
Par exemple, si nous prenons en considération la fonction y = 3x + 5, cela s'associe à chaque valeur de x une valeur de Y.
L'ensemble à s'appelle le domaine de la fonction, tandis que l'insertion B, formée par les images des éléments de A, serait dite. De la même manière, le x est appelé variable indépendante et la variable y car elle dépend précisément des valeurs attribuées au X.
Il existe deux formes pour décrire une fonction: la forme implicite (-3x + y-5 = 0) et la forme explicite (y = 3x + 5) qui est la plus utilisée.
Classification des fonctions
Une fonction algébrique peut être:
- Rational complet (ou polynôme) lorsqu'il contient des polynomes à l'intérieur. S'ils sont au premier degré, ce sera linéairesi nous l'appellerons au deuxième degré carré.
- Fratta rationnelle si elle contient l'inconnu X au dénominateur.
- Irrationnel si la variable x est contenue dans une racine.
Il existe d'autres types de fonctions qui ne sont pas algébriques et sont appelés transcendants, tels que la fonction y = sin (x) ou la fonction exponentielle y = e ^ x.
Le domaine d'une fonction
Nous appellerons le domaine de la fonction le plus grand ensemble des valeurs réelles qui peuvent être attribuées au X afin que la valeur correspondante du Y existe. Dit de cette manière, trouver la domination d'une fonction peut sembler une chose très compliquée; En réalité, c'est beaucoup plus facile à faire que de dire.
Tout d'abord, nous devons trouver le champ (ou les conditions) de l'existence de la fonction qui est très souvent confondue à tort avec le même domaine. L'EC n'est rien de plus que l'ensemble des valeurs x pour lesquelles la fonction est définie.
Donc, si, par exemple, nous avons la fonction y = (3x + 2) / (x-5), il n'existera pas dans le cas où le dénominateur est égal à 0; Par conséquent, notre champ d'existence sera EC: x ☎ 5. Pour indiquer le domaine, en revanche, nous écrivons: d =) – ∞, 5 (∪) 5, + ∞ (; où les supports à carreaux indiquent les intervalles dont les valeurs peuvent être attribuées à la fonction existant des valeurs du Y.
Si deux fonctions ont le même domaine, ce sont les mêmes fonctions.
Propriétés des fonctions
Fonction d'injectif
En tenant compte de deux ensembles A et B, une fonction est définie injective si Tout va bien L'élément de B est l'image al plus d'un élément de A. Cela signifie que si par exemple nous prenons en considération toute fonction du type Y = ƒ (x)chaque valeur du y doit être associée au maximum avec une seule valeur de l'abscisse (comme la ligne droite sur la figure).
La fonction de la parabole à la deuxième figure ne peut pas être définie comme un injectif car pour la même valeur que les ordinateurs, deux valeurs que le X correspond.
Fonction de signature
Un autre type de fonctions est celle des suites, ou dans lesquelles Tout va bien L'élément de B est l'image au moins D'un élément de A. Par conséquent, toute valeur que vous choisissez sur l'axe de la y doit être associée à au moins un élément du X.
Dans l'image suivante, il est représenté une fonction subrative car, comme vous pouvez le voir, à tout moment des ordonnées, elle correspond à au moins une des abscisse, en effet, parfois elles correspondent encore plus.
La deuxième fonction, cependant, n'existe qu'au-dessus de l'axe x, donc aucun ordre négatif ne peut être associé à un x; Par conséquent, la fonction n'est pas subrative.
Fonction biunivoque
On dit qu'une fonction est biunivoque ou béateuse si elle est à la fois injective et trigative, donc si chaque valeur choisie sur l'axe y correspond à une et une seule valeur sur l'axe x; Comme dans le cas de la figure.
Fonctions égales et impaises
♦ Une fonction est même Quand ƒ (-x) = ƒ (x) par conséquent, il sera symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (comme dans la figure 1). Une fonction du type y =x² + 1 il est égal, car, calculant ƒ (-x)nous aurons ça ƒ (-x) = (-x) ² + 1 ⇒ y =x² + 1 ou ƒ (x).
♦ Si dans une fonction ƒ (-x) = -ƒ (x) alors ce sera coups de feuet, comme le graphique de la deuxième figure, sera symétrique par rapport à l'origine des axes. Par exemple, y =X³-x C'est une fonction étrange parce que ƒ (-x) = (-x) ³ – (- x) = -x³ + x qui équivaut à Y = –(X³-x) Il est donc vrai que ƒ (-x) = -ƒ (x).
Cependant, les fonctions ne sont pas comme les nombres qui doivent nécessairement être égaux ou étranges. En fait, une fonction peut également avoir aucune des deux propriétés, dans ce cas, nous dirons qu'il n'y a pas d'égalité.
Dans le cas de la fonction y = x³-1, si nous avons calculé ƒ (-x), Nous obtiendrions une fonction différente de la part de la part, c'est-à-dire Y = (-x) ³-1 = -x³-1 =– (x³ + 1)qui ne coïncide pas ou avec ƒ (x) ni avec – (x). Par conséquent, la fonction ne sera pas symétrique ni avec l'axe Ye ni avec l'origine.
Fonctions périodiques
En considérant une fonction y =ƒ (x), est défini périodique, de la période T, Si, pour un numéro K, vous avez: ƒ (x) = ƒ (x + kt). Étant périodique, une fonction de ce type est répétée dans le graphique dans chaque intervalle t; les fonctions Péché (x) Et cos (x) Par exemple, ils répètent leur tendance tous les 2π, tandis que les fonctions tangentes et cotangents ont une période π.
Fonctions inverses
Étant donné la fonction biunivoque y = ƒ (x) de a a b, la fonction inverse de f est la fonction biunivoque x = ƒ ^ (- 1) (y) de b à A. Lorsqu'une fonction admet son inverse, alors il est dit invertible. Dans le cas où ce n'était pas le cas, il est possible de restreindre le domaine pour faire la fonction biunivoque.
Souviens-toi!: Le graphiste et celui de son revers sont symétriques par rapport à la bissectrice des premier et troisième cadran.
