Le mot Logique Il dérive des «logos» grecs qui avaient de nombreuses significations. Il pourrait se référer à sa signification la plus courante qui signifiait «langue», ou «fraction» d'un point de vue mathématique, ou pourrait se référer à la «pensée». logique mathématique. C'est quelque chose de totalement différent de l'ordre de l'étude des problèmes pratiques et numériques. Logic étudie les relations, tout ce qui peut être lié, le SO pré-appelé « commensurable ».

Définition de la logique.

Là Logique mathématique C'est ce secteur des mathématiques qui étudie i systèmes formelsc'est-à-dire la façon de rédiger les concepts et les démonstrations (des théorèmes, des propositions et similaires) pour s'assurer qu'ils sont clairs et précis. Il peut se référer à l'étude mathématique ou à l'étude du raisonnement mathématique. De nos jours, cependant, il contient les deux significations, c'est-à-dire que nous essayons d'étudier la pensée mathématique car c'est une pensée précise et ordonnée.

La logique est donc le rédacteur de l'éditorial de propositions. Ils peuvent prendre deux états de véracité: vrai ou faux. Dans le LMathématiques ogica Pas Il existe d'autres états de la proposition. En d'autres termes proposition C'est une déclaration qui exprime un Valeur de vérité.

Exemple:

• « 100 est un nombre pair » (a)
• « Le ciel est noir avec des points violets » (b)

Les deux phrases sont deux propositions dont un réel (a) et un faux (b).

PAS Toutes ces déclarations qu'ils expriment sont des propositions un concept subjectifSignifiant quoi Pas Les phrases telles que:

• « J'aime les légumes »
• « Je voudrais voyager »

En fait, ils expriment un plaisir et un désir qui ne peuvent pas être définis comme vrais ou faux dans façon absolue.

Connecteurs.

Les propositions peuvent être combinées les unes avec les autres connecteurs (« E », « o », « pas », « si … alors », etc.). Ils ont la tâche de lier plus de propositions les uns aux autres et le résultat de cette composition est appelé énoncé. Les simples, ou non obtenus par l'utilisation de connectives, sont définis atomique.

Par exemple:

• « 90 est divisible par 3 » est une proposition atomique
• « S'il y a le soleil, alors j'irai jouer au football » est une déclaration composée de « Il y aura le soleil » et « Je vais jouer au football » lié par le Connectif « If … alors … »

La langue formelle

La façon de parler que l'homme a produit pendant son évolution (quelle que soit la langue parlée) est trop complexe et pleine d'ambiguïté dérivée des interprétations subjectives des choses. Pour éviter cela, les mathématiques ont dû développer une langue simple, claire et sans ambiguïté que nous appellerons langue formelle.

À cette fin, un alphabetc'est-à-dire un ensemble de symboles capables de construire phrases (Une séquence de symboles appartenant à notre alphabet). Par la suite un syntaxe c'est-à-dire des règles qui définissent l'ordre que les symboles doivent être acceptés pour être acceptés. Il ne traite que de l'ordre des symboles et non de la véracité de ce qui est dit.

Par exemple:

• 5x (2 + 8) = 50: C'est une formule syntaxiquement correcte
• 5x (= 50) 2 + 8: c'est une formule syntaxiquement incorrecte
• 5x (2 + 8) = 100: C'est une formule syntaxiquement correcte (ce n'est pas important si le contenu est vrai)

On peut donc dire que la syntaxe a la tâche de fournir des règles pour formuler certains Phrases bien faites . La discussion du contenu n'aura lieu que plus tard, lorsque nous ferons face aux phrases syntaxiquement correctes.

Les symboles qui sont généralement utilisés pour la rédaction de Phrases bien faites Ils sont les suivants:

• ¬: indique le « non », c'est-à-dire qu'il nie la proposition. Parfois, il est également indiqué par une barre horizontale au-dessus de la lettre indiquant la proposition.
• ˄: désigne le « E » comme une conjonction.
• ˅ ˅: indique le « O » comme une disjonction.
• → : il est utilisé pour indiquer l'implication.
• Symboles pour indiquer les propositions: a, b, c, …
• Symboles accessoires tels que la parenthèse: (e)

Les symboles ¬, ˄, ˅, → ont des ordres de priorité pour éviter l'utilisation excessive de parenthèses, qui autrement donnerait lieu à des interprétations en fonction de la priorité que tout le monde donnerait en lisant les propositions et les symboles. La priorité la plus élevée l'a ¬, puis ˄, puis ˅, enfin →.

Les phrases bien faites.

À ce stade, la question est la suivante: Une fois que les symboles, la syntaxe et la priorité ont été établis, à quoi sert de savoir comment formuler ces propositions?

Nous avons déjà répondu à cette question en disant que le logique En soi, il est utilisé pour rédiger des théorèmes et des démonstrations sans ambiguïté et clairement. Mais savoir comment formuler ce type de proposition est surtout nécessaire pour le calcul propositionnel. Le calcul propositionnel Ce n'est rien de plus que la manipulation des propositions et des connecteurs afin d'établir leur vérification finale.

Comme nous l'avons déjà dit aux propositions, plus particulièrement aux phrases bien faites, nous pouvons attribuer une valeur de véracité.

Les valeurs possibles en logique comme prévu sont deux: RÉEL (indiqué par v) ou FAUX (indiqué par f). Une fois établi, cela peut être procédé à la rédaction de Tableaux de table. Les tableaux sont utiles car ils sont simples à rédiger mais très efficaces.

Par exemple

En ce moment Table de vérité Nous avons le résultat de l'opérateur d'implication. C'est-à-dire une implication B. Dans le cas où A est vrai et B est vrai, alors une implication B est vraie et ainsi de suite. Pour chaque opérateur, il est possible de retourner une table similaire.

Les paradoxes.

Nous avons parlé de la façon de rédiger un concept et une syntaxe qu'il est nécessaire de devoir s'assurer qu'une phrase peut réellement être établie. Très souvent, cependant, surtout en philosophie, nous sommes confrontés Paradoxes. Ils sont très importants car ils sont le germe qui a donné naissance à l'approche de l'étude de la Logique mathématique.

Qu'est-ce qu'un paradoxe? Le paradoxe dérive du grec et signifie « aller à l'encontre de l'opinion commune ». En d'autres termes, rédigez un raisonnement qui va à l'encontre de la logique commune.

Un exemple de paradoxe peut être celui du mensonge. Supposons que nous soyons devant un juge pendant que nous donnons notre témoignage concernant un incident. Mais il est en doute du fait que nous disons la vérité, alors nous nous posons la question « dites-vous la vérité? ». Et nous répondons « Non, je mens » à cette question. Cependant, cette réponse n'a pas beaucoup de sens depuis:

• Supposons que je mens, cela signifie que je dis le faux. Donc, l'hypothèse que l'énoncé «  » ou je mens « est vrai, est contradictoire, conduit donc à sa contradiction.
• Nous supposons donc que l'expression « je mens » est fausse. Ensuite, c'est vrai, c'est l'opposé, donc je dis la vérité.

Dans les deux cas, une contradiction est atteinte. Et c'est pour cette raison que le Logique mathématique.