Trigonométrie: concepts de base

La trigonométrie fait partie des mathématiques qui étudient les triangles à partir de leurs coins. La tâche principale de la trigonométrie, comme l'a révélé l'étymologie du nom, consiste à calculer les mesures qui caractérisent les éléments d'un triangle (côtés, coins, médias, etc.). À partir d'autres mesures déjà connues (au moins trois, dont au moins une longueur), au moyen de fonctions spéciales.

Cette tâche est indiquée comment Résolution du triangle.

Il est également possible d'utiliser des calculs trigonométriques dans la résolution de figures géométriques plus complexes liées, telles que des polygones ou des figures géométriques solides, et dans de nombreuses autres branches de mathématiques.

Concepts de base de la trigonométrie

Fonctions trigonométriques

L'outil indispensable de la trigonométrie est les fonctions trigonométriques.

Les fonctions trigonométriques ou les fonctions gonométriques ou les fonctions circulaires sont les fonctions d'un coin. Ils sont importants dans l'étude des triangles et dans la modélisation de phénomènes périodiques, ainsi qu'un grand nombre d'autres applications.

Il existe six fonctions trigonométriques de base, qui sont répertoriées ci-dessous avec les identités qui les relient. Surtout pour les quatre derniers, ces rapports sont souvent pris comme définitions de ces fonctions.

Sein	Péché (ou sen, nomenclature italienne)	$\ Sin \ theta = \ cos \ Left (\ fracté {\ pi} {2} - \ theta \ droite)$
Cosinus	donc	$\ Cos \ theta = \ sin \ Left (\ fracc {\ pi} {2} - \ theta \ droit)$
Tangente	Tan (ou TG)	$\ tan \ theta = \ fracc {1} {\ cot \ theta} = \ fracc {\ sin \ theta} {\ cos \ theta} = \ cot \ Left (\ fracc {\ pi} {2} \ \ theta \ droite)$
Cotangente	Lit de lit (ou ctg)	$\ Cot \ theta = \ fracc {1} {\ tan \ theta} = \ fracc {\ cos \ theta} {\ sin \ theta} = \ tan \ Left (\ fracc {\ pi} {2} \ \ theta \ droit)$
Sécante	seconde	$\ sec \ theta = \ fracc {1} {\ cos \ theta} = \ csc \ gauche (\ fracc {\ pi} {2} - \ theta \ droit)$
Cosécante	CSC (ou COSC)	$\ Csc \ theta = \ fracc {1} {\ sin \ theta} = \ sec \ Left (\ fracc {\ pi} {2} - \ theta \ droit)$

Maintenant que nous connaissons ces fonctions de base, voyons exactement ce qu'ils représentent.

Définitions des fonctions trigonométriques

Afin de définir les fonctions trigonométriques d'un coin Àconsidérez un triangle rectangle arbitraire qui contient le coin À.

Nous utilisons donc les noms suivants pour indiquer les côtés du triangle:

LE'hypoténuse C'est le côté opposé au coin droit, ou, de manière équivalente, le côté le plus long d'un triangle rectangle, dans ce cas i.
Le côté opposé C'est le côté opposé au coin que nous prenons en considération, dans ce cas a.
Le côté adjacent C'est le côté en contact avec le coin que nous prenons en considération et avec l'angle droit. Dans ce cas, le côté adjacent est b.

Concepts de base de la trigonométrie

Sein

Le sein d'un coin est la relation entre la longueur du côté opposé et la longueur de l'hypoténuse. C'est-à-dire:

{\ displastyle \ sin a = {\ fracc {{\ textrm {côté}} \ {\ textrm {opposé}}} {\ textrm {hypotenuse}} = {\ franc {a} {i}}}}}}}

Il est important de noter que cette relation ne dépend pas du triangle rectangulaire particulier choisi, à condition qu'il contienne le coin A, car tous ces triangles sont similaires.

Cosinus

Le cosinus d'un coin est la relation entre la longueur du côté adjacent et la longueur de l'hypoténuse. C'est-à-dire:

${\ displastyle \ cos a = {\ fracc {{\ textrm {Side}} \ {\ textrm {adjacent}}} {\ textrm {hypotenusa}} = {\ fratc {b} {i}}}}}}}$

La tangente

La tangente d'un coin est le rapport entre la longueur du côté opposé et la longueur du côté adjacent. C'est-à-dire:

{\ displastyle \ tan a = {\ fracc {{\ textrm {côté}} \ {\ textrm {opposé}}} {{\ textrm {côté}} \ {\ textrm {adjacent}} = {\ franc {a} {b}}}}

Les trois autres fonctions peuvent être définies en utilisant les trois définitions que nous avons déjà examinées, de cette manière:

Le Cosca

CSCANT CSC (À) C'est la multiplicative inverse du péché (À), c'est-à-dire la relation entre la longueur de l'hypoténuse et celle du côté opposé:

{\ displastyle \ csc a = {\ fracc {\ textrm {hypotenusa}} {{\ textrm {côté}} \ {\ textrm {opposé}}} = = {\ fracc {i {a}}}}}}}

Le sécant

La sec sécante (À) est l'inverse multiplicatif de COS (À), c'est-à-dire la relation entre la longueur de l'hypoténuse et celle du côté adjacent:

{\ displastyle \ sec a = {\ FRACC {\ Textrm {hypotenuse}} {{\ textrm {side}} \ {\ textrm {adjacent}}}} = {\ franc {i} {b}}}}}}

La cotangente

Le lit cotangent (À) est l'inverse multiplicatif du tan (À), c'est-à-dire la relation entre la longueur du côté adjacent et celle du côté opposé:

{\ displastyle \ cot a = {\ fracc {{\ textrm {côté}} \ {\ textrm {adjacent}} {{{\ textrm {côté}} \ {\ textrm {opposé}}} = {{\ fracc {b} {a}}}}}

Concepts de base de la trigonométrie

Les fonctions trigonométriques, comme leur nom le dit, sont d'une importance cruciale dans la trigonométrie, principalement pour les deux théorèmes suivants.

Théorème du sein

Le théorème du sein déclare que pour chaque triangle, il vaut la peine:

\ Fracc {\ mathrm {sen \,} a} {a} = \ fracc {\ mathrm {Sen \,} b} {b} = \ fracc {\ mathrm {Sen \,} c} {c}

Souvent écrit comme:

\ Fracc {a} {\ mathrm {Sen \,} a} = \ fracc {b} {\ mathrm {Sen \,} b} = \ fracc {c} {\ mathrm {Sen \,} c} = 2r

Ce théorème peut être démontré en divisant le triangle en deux triangles de rectangles (traçant la hauteur) et en utilisant la définition du sein. Le nombre commun à/(péchéÀ) est le même que le diamètre de la circonférence limitée au triangle, c'est-à-dire le passage à travers les trois points À, B Et C. Le théorème du sein est utile pour calculer la longueur des côtés inconnus d'un triangle si deux coins et un côté sont connus.

Théorème de coseni

Le théorème du cosinus ou du carnet est une généralisation à tout triangle du théorème de Pythagore:

c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2ab \ cos c

C'est-à-dire:

\ Cos c = \ franc {a ^ 2 + b ^ 2-c ^ 2} {2ab}

Ce théorème peut également être démontré en divisant le triangle en deux triangles de rectangles. Le théorème de Carnot est utile pour la résolution d'un triangle dont les deux côtés sont connus et l'angle entre eux.

Souvent, la trigonométrie et ses fonctions sont utilisées pour résoudre des problèmes liés aux triangles des rectangles, en appliquant les théorèmes énumérés ci-dessus. Mais ces deux théorèmes ne sont pas les seuls à être valides et doivent être rappelés.

Nous allons maintenant expliquer comment résoudre un triangle rectangulaire, où résoudre un triangle rectangulaire, il est impliqué en calculant les mesures des côtés et des angles du triangle.

Résolution des triangles des rectangles

Par convention, il y a une nomenclature dans les triangles des rectangles, alors rappelez-vous que:

$\ Alpha = 90 ^ o$ Et $\ Bêta + \ range = 90 ^ o$
Un coin est adjacent à un cathéter si le cathéter est l'un des côtés du coin en question.
Un coin est opposé à un cathéter si le cathéter n'est pas l'un des côtés du coin en question.

Par exemple $\bêta$ c'est opposé à la cathéto $b$ et adjacent au catet $c$ .

En vertu de ces conventions dans un triangle rectangulaire, les théorèmes suivants s'appliquent:

Dans un triangle rectangulaire, un cateto est le même que le produit de l'hypoténuse avec le sein de l'angle opposé au cathéter
Dans un triangle rectangulaire, un catetus est le même que le produit de l'hypoténuse avec le cosinus du coin aigu adjacent au cathéter.
Dans un triangle rectangulaire, un cateto est le même que le produit de l'autre cathéto avec la tangente du coin opposé au cathéter à calculer.
Dans un triangle rectangulaire, un cateto est le même que le produit de l'autre cathéter avec le cotangent du coin aigu adjacent au cathéter à calculer.

Ces théorèmes se traduisent par les formules trigonométriques suivantes, indispensables pour la résolution des triangles des rectangles.

A = {\ fracc c {\ sin \ gamma}} \ quad \ rightarrow \ quad c = a \ cdot \ sin \ gamma

$A = \ frac b {\ cos \ gamma} \ quad \ rightarrow \ quad b = a \ cdot \ cos \ gamma$

${\ Frac cb} = {\ fracc {\ sin \ gamma} {\ cos \ gamma}} \ quad \ rightarrow \ quad c = b \ cdot \ tan \ gamma$

${\ Frac bc} = {\ fracc {\ cos \ gamma} {\ sin \ gamma}} \ quad \ rightarrow \ quad b = c \ cdot \ cot \ gamma$

$A = {\ frat b {\ sin \ bêta}} \ quad \ rightarrow \ quad b = a \ cdot \ sin \ bêta$

$A = \ frac c {\ cos \ beta} \ quad \ rightarrow \ quad c = a \ cdot \ cos \ beta$

${\ Frac bc} = {\ fracc {\ sin \ bêta} {\ cos \ beta}} \ quad \ rightarrow \ quad b = c \ cdot \ tan \ bêta$

${\ Frac cb} = {\ fracc {\ cos \ beta} {\ sin \ bêta}} \ quad \ rightarrow \ quad c = b \ cdot \ cot \ beta$

Ce sont quelques notions de base de trigonométrie, nous espérons vous avoir été utile.

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Trigonométrie: concepts de base

Cette tâche est indiquée comment Résolution du triangle.

Fonctions trigonométriques

Définitions des fonctions trigonométriques