Si vous lisez cet article, vous aurez sûrement du mal très haineux Exercices de trigonométrie. Eh bien, je peux vous consoler pour vous dire que tous vos doutes cesseront bientôt d'exister. Il est connu que la résolution des exercices de trigonométrie, dans la plupart des cas, est résolue en réduisant les équations en utilisant une série de formules avec une apparence peu invitante et difficile à mémoriser.
Ici, dans cet article, je vais essayer de vous montrer comment c'est possible les mémoriser Dans la plupart des cas.
En effet, toutes les formules n'ont pas une forme qui se prête facilement à être stockée. Dans les cas où la mémorisation échoue, le raisonnement nous sauve. En fait, dans ces situations, la meilleure façon de poursuivre est celle de la démonstration. Les démonstrations qui, dans ces cas, ne nécessitent que la connaissance de certains théorèmes de la géométrie élémentaire (Pythagore, euclide).
L'identité des fondements de la trigonométrie à mémoriser est les formules de:
- Addition et soustraction.
- Reproduction.
- Bissection.
- Prostaferésis.
- Werner.
La bonne nouvelle est que les formules de bissection, Duplication, Werner et de prostaférèse Ils obtiennent facilement et rapidement si nous trouvons un moyen de mémoriser les formules de ajout Et soustraction. Si vous ne voulez pas stocker ces formules, la meilleure solution consiste à utiliser le raisonnement mathématique, c'est-à-dire pour faire le démonstration. Bien sûr, cela est vrai pour ceux qui ne veulent pas ou ne peuvent pas les mémoriser tous.
Formules d'addition et de soustraction
Vous trouverez ci-dessous les formules à mémoriser, en se rappelant que:
- Dans le sein La structure de la formule est toujours Sen So Senles coins sont toujours en ordre, c'est-à-dire le signe est respecté.
- Au lieu de cosinus La structure de la formule est toujours Cos Cos Senles coins sont toujours en ordre, c'est-à-dire le signe n'est pas respecté.
- Les formules de la tangente et du cotangent, également dans ce cas, sont obtenues avec des passages mathématiques simples.
Si le stockage des formules d'addition et de soustraction devrait apporter des problèmes, bien sûr, la démonstration résout tous les problèmes.
Démonstration de la formule de soustraction du cosinus
Ils sont AP = Aq = avec > les deux arcs en considération et donc QP = – La différence.
Dit m, n les projections du p, q sur l'axe x, nous observons que vous avez:
- Om = donc
- Député = mensonges
- Sur = donc
- Nq = mensonges
Undil Q avec O et prolonge ledit segment jusqu'à ce que la circonférence se réalise dans ce domaine. Le triangle Q'PQ, car il est inséré au milieu de la circonférence, est rectangle: Q'q c'est l'hypoténuse, QP Et PQ ' Ce sont les cathéters.
Dit r la projection du point P sur l'hypoténuse, nous observons que nous avons:
-
-
- Ou = Cos (–)
- Député = Sen (–)
-
Maintenant, la distance entre les points PQ est calculée, à savoir:
Pq 2=(donc -Cos )2+(Sen – Sen)2=
= donc2 + donc2 -2donc donc + mensonges2 + mensonges2 – 2mensonges mensonges =
SO = (donc2 +mensonges2 ) + (donc2 +mensonges2 ) -2(donc donc + Sen mensonges ) =
= 1 +1 – 2(donc donc + Sen mensonges ) =
2 – 2(donc donc + Sen mensonges ).
Se souvenant que Q'q= 2 comme diamètre de la circonférence trigonométrique du rayon unitaire, e Rq = OQ–Ou= 1-COS (–).
Maintenant, simplement, la longueur est calculée Pq 2 en utilisant le premier théorème de Euclide et les remplacements connexes sont effectués, à savoir:
Pq 2= QQ 'Rq
2 – 2(donc donc + Sen mensonges ) = 2(1-COS (–))
2 – 2(donc donc + Sen mensonges ) = 2-2Cos (–)
(cos + sen sen) = cos (-)
Formules de duplication
Comme mentionné dans le premier paragraphe, les formules de duplication sont obtenues simplement en utilisant l'identité d'addition en plaçant =. Voyons maintenant comment la formule de duplication du sein et du cosinus est obtenue.
Sein
Se souvenir que:
Sen (+) = sen donc + Cos mensonges
(placement = )
Sen (+) = sen donc + Cos mensonges
SO: Sen (2) = 2 mensonges donc
Cosinus
Se souvenant que
Cos (+) = Cos donc – Sen mensonges
(placement = )
Cos (+) = Cos donc – Sen mensonges
Donc: cos (2) =donc2 – mensonges2
Après ce processus, toutes les autres identités sont facilement obtenues.
Formules de bissection
Pour obtenir ces identités de manière simple, nous exprimons les formules de duplication du sein et du cosinus dans le cosinus seul, à savoir:
Cos (2) =donc2 – mensonges2
Donc: cos (2) = (1-mensonges2) – mensonges2
Cos (2) = 1-2mensonges2
se souvenant que mensonges2 = 1 – donc2
tu as:
Cos (2) = 1-2(1 – donc2)
Donc: cos (2) = 1-2 +2 donc2
Cos (2) = 2 donc2 – 1
De cela, nous obtenons:
2 donc2 = 1 + cos 2
Avec un raisonnement similaire, l'identité suivante est également facilement obtenue, ce qui sera utile pour obtenir les formules de bissection, c'est-à-dire:
2 mensonges2 = 1 – cos 2
Maintenant, je place simplement =/ 2vous obtenez:
2 mensonges2/ 2 = 1 – cos 2/ 2
2 mensonges2/ 2 = 1 – cos
mensonges2/ 2 = 1/2 (1 – cos )
SO: Sen / 2 = (1 – cos )2
Avec une procédure similaire, d'autres identités sont obtenues.
Formules de prostaférèse
Vous trouverez ci-dessous les formules de prostaferesi, qui sont obtenues en ajoutant et soustrayant un membre au membre des formules d'addition et de soustraction.
Sen (+) + Sen (–) = 2mensonges donc
Sen (+) -Sen (–) = 2 mensonges donc
(**)Cos (+) + Cos (–) = 2 donc donc
(***)Et ainsi (+) -Cos (–) = -2 mensonges donc
(****).
Puis en plaçant + = P Et – = q
Et faire le membre semi-pertinent et semidiffenza à un membre, on a: = (p + q) / 2 e
= (pq) / 2.
Remplacement maintenant les formules précédentes que vous obtenez:
Sen (p + q) / 2 + (pq) / 2) + sen ((p + q) / 2- (pq) / 2) = 2Sen (P + Q) / 2
cos (pq) / 2Sen P + Sen Q = 2Sen (P + Q) / 2
cos (pq) / 2.
A tout, tous les autres sont obtenus. Placement p = Eq =
Des formules de prostaferésis sont obtenues.
Formules werner
Nous voulons toujours donner un groupe de formules, appelées deWerner le
qui, comme promis, sont obtenus à partir des formules
(**), (***) et (****) divisant les deux membres pour 2. En utilisant le (***) nous dérivons la première des identités suivantes:
Se souvenir (***) 2 doncdonc= Cos (+) + Cos ( –
) Divisant par 2 deux membres, la première des formules est obtenue
Werner
ou: donc donc= 1/2(Cos (+) + Cos ( –
))
De même, procédez pour obtenir les identités restantes.
Ing. Antonio Pugliese.
Répétitions skuola.net
