Parfois, nous nous demandons à quoi sert les mathématiques. Souvent, ce qui est étudié à l'école est appris de manière mnémonique, sans réfléchir à la façon dont les formules, les théorèmes que nous apprenons ou les équations et les inégalités que nous effectuons, sont liées à la réalité que nous vivons quotidiennement.
L'algèbre linéaire et la géométrie sont deux des branches les plus importantes des mathématiques. Ils peuvent être joints pour former la géométrie analytique du plan, qui étudie les figures géométriques à travers des coordonnées situées sur un plan, appelé cartésien par son créateur, qui était précisément descartes.
Algèbre linéaire et géométrie analytique
Cette partie des mathématiques traite de l'étude des transporteurs, des transformations linéaires et des systèmes d'équations (ou d'inégalités) de première grade.
L'algèbre linéaire est également utilisée en mécanique quantique, par exemple elle a été utilisée par Paul Dirac Physicien anglais qui, avec ses équations, a conduit à la découverte des antiparticules et à la création de paires de particules virtuelles dans le vide.
Cependant, l'application la plus importante est la géométrie analytique. Sur le plan cartésien, en fait, les lignes droites sont représentées par des équations linéaires. La géométrie cartésienne est utilisée, par exemple, dans les graphiques vectoriels (traductions, rotations, etc.), pour créer des animations, pour les cartes et l'astronomie et bien plus encore.
De plus, avec une référence particulière à la ligne droite, la géométrie analytique enseigne à calculer sa pente, des informations très importantes dans de nombreux domaines, tels que:
- La physique, qui utilise le plan cartésien pour représenter les mouvements et les trajectoires des corps;
- L'économie, qui exploite la géométrie analytique pour la construction des graphiques relatifs à la tendance d'une variable;
- L'électrotéchnique utilise le plan cartésien pour la représentation graphique des caractéristiques de sortie du
Éléments d'un circuit électrique
Vélos droits uniformes
La physique est la première application des mathématiques. En particulier, le mouvement droit uniforme représente une combinaison d'algèbre, de géométrie et de physique.
Comme vous le savez, ce type de moto concerne un corps qui se déplace à vitesse constante avec une trajectoire droite. D'un point de vue géométrique, par conséquent, si nous étudions la moto sur le plan cartésien, en fixant le temps sur l'axe de l'abscisse, l'esprit sur celui des ordres de l'espace, nous aurons une ligne droite.
D'un point de vue algébrique, cependant, la ligne droite est représentée par une équation linéaire qui, en physique, prend le nom de la loi horaire du mouvement droit uniforme. À partir de la formule de la vitesse d'un corps, nous pouvons obtenir l'équation de la loi horaire: ΔS = V · ΔT. Ceci est mieux connu avec une autre forme, plus similaire à la ligne générale de la ligne droite: S
Si vous le regardez, vous vous rendrez compte que cela ressemble à l'équation y = mx + q. Vitesse V représente comment mle coefficient d'angle de la ligne droite; t C'est la variable indépendante, tandis que St) C'est la variable dépendante; Enfin le terme connu S0 Il représente la position du corps dans un moment précis et coïncide avec le « point de départ » de la ligne droite.
La trigonométrie
De nombreux théorèmes de géométrie ordinaire concernent les longueurs, les coins et les zones présentes dans certaines figures géométriques. Par exemple, la somme des coins internes d'un triangle s'avère être un coin plat.
La trigonométrie fait partie des mathématiques, qui essaie de calculer les mesures qui caractérisent les éléments d'un triangle (côtés, coins, etc.) par des fonctions spéciales. Ce ne sont pas des fonctions polynomiales (comme l'équation droite), mais elles sont constituées de fonctions linéaires trigonométriques particulières: les plus importantes sont le sein, le cosinus et la tangente.
La trigonométrie est une discipline si ancienne que même les Égyptiens avaient l'habitude de calculer la hauteur des pyramides et se sont développés au fil du temps grâce aux cartographes, aux géographes et aux astronomes. Aujourd'hui, cependant, il représente l'un des sujets les plus importés pour les architectes ou les ingénieurs.
Vous avez-vous déjà demandé, par exemple, comment la hauteur d'un bâtiment est-elle mesurée? La réponse réside dans les formules de trigonométrie!
Si nous voulions mesurer la hauteur d'un bâtiment comme celui de la figure à côté, nous devons nous éloigner à une certaine distance (d Dans la figure) du bâtiment, calculez le coin φ formé par le sol (OQ) et de la ligne droite qui relie nos pieds au toit du bâtiment (OA).
Maintenant, sachant que, dans un triangle rectangulaire, le pot-de-vin d'un coin (dans notre cas du coin φ) correspond à la mesure du côté opposé au coin (Aq) divisé par la mesure de son adjacent (OQ c'est-à-dire d), en obtenant la formule inversée, nous pouvons calculer la hauteur du bâtiment.
tan (φ) = aq / oq q ⇒ aq = tan (φ) / oq
Algèbre linéaire et géométrie: problèmes de réalité
L'algèbre et la géométrie linéaires peuvent donc être définies par deux côtés de la même médaille. Voyons maintenant certains problèmes de géométrie qui doivent être résolus via des équations ou des systèmes linéaires.
Exercice 1: « Détermine la mesure d'un côté d'un carré, sachant que, augmentant la longueur du côté de 3 cm, la zone augmentera de 51 cm² ».
Pour résoudre ce problème, nous devons configurer une équation où l'inconnu est la mesure du côté carré. La piste nous dit que si nous augmentons le côté de 3 cm, dans la zone, nous devrons ajouter 51. Par conséquent, notre équation sera: (x + 3) ² = x² + 51.
Résolution de l'équation que nous aurons: x² + 6x + 9 = x² + 51 ⇒ X²+ 6x + 9 = X²+51 ⇒ 6x = 42 ⇒ x = 7
Ensuite, le côté du carré mesurera 7 cm.
Exercice 2: « Dans un trapèze isocèle, la base plus petite est la moitié du plus grand, 6/5 du côté oblique et 3/2 de la hauteur. Sachant que le périmètre mesure 140 cm, détermine la zone de trapèze ».
Tout d'abord, nous devons nous souvenir de la formule pour calculer la zone de trapèze qui est: α = (b + b) * h / 2.
Sachant que b = b / 2 et b = (6/5) * l, nous pouvons nous trouver B à travers une équation linéaire l'obtention de la formule de périmètre. Par conséquent, puisque B+ b +2L= 140 (formule dell'apertro), en remplacement des données que nous aurons 2B+ b +2 * (5/6) * b =140.
Il nous suffit de réaliser l'équation et de trouver la base mineure: 2b + b + 2 * (5/6) * b = 140 ⇒ 3b + (5/3) * b = 140 ⇒ (9b + 5b) / 3 = 140 ⇒ 14b / 3 = 140 ⇒ b = 30 cm.
Une fois cela fait, nous pouvons dériver tous les autres éléments: b = 2b = 60 cm, l = (5/6) * b = 25 cm eh = (2/3) * b = 20.
Maintenant, nous pouvons trouver la zone de trapèze:
Α = (b + b) * h / 2 = (60 + 30) * 20/2 = 900 cm².
