À ceux qui ne sont pas venus à l'esprit pendant leur chemin d'étude pour penser: « Pourquoi dois-je étudier les mathématiques? De quoi ai-je besoin dans la vie?« .
Généralement, la réponse qui survient spontanément, en particulier pour ceux qui n'aiment pas particulièrement cette question, n'est « rien », mais nous nous rendrons bientôt compte que ce n'est pas entièrement vrai.
Un exemple de la façon dont les mathématiques influencent notre vie les ensembles. Découvrons ce qu'ils sont.
Qu'est-ce qu'un tout?
Un tout est une collection d'objets, de personnes, d'animaux, .. qui sont regroupés de manière déterminée, c'est-à-dire qu'ils peuvent y appartenir ou non et chaque élément doit être distinct.
Faisons quelques exemples pour réparer le concept:
- Si nous avons pris les goûts de la crème glacée et que nous voulions les diviser en bons goûts et moins de goûts Bon nous ne pouvions pas créer un ensemble au sens mathématique, en fait cette subdivision crée une classification objective, par conséquent les ensembles varient du sujet à sujet.
- Les exemples de l'ensemble, en revanche, sont: les villes italiennes situées en Toscane, les élèves d'une classe, les nombres réels entre 1 et 10, etc. Tous ces ensembles ont la caractéristique d'avoir des éléments qui lui appartiennent et d'autres qui ne lui appartiennent pas mais d'une manière Déterminé indépendamment des susmentionnés.
Notations:
Le concept de l'ensemble est né depuis des milliers d'années et a subi plusieurs variations avec le passage du temps, les coutumes et l'avancement de la connaissance.
Les notations utilisées de nos jours sont:
- Lettres de l'alphabet capital Pour déterminer un Ensemble: A, b, c, .., z.
- Lettres de l'alphabet minuscule Pour déterminer le éléments d'un tout: a, b, c, …, z.
- Pour indiquer qu'un élément appartient dans son ensemble Le symbole « est utilisé »∈«. Contraire si un élément il n'appartient pas Dans tout le symbole « ∉ «.
Par exemple:
1 opportunité ℕ (ensemble de nombres naturels)
et ∉ ℕ (étant « e » le nombre de népero ou de nombre d'euler égal à 2,71 …)
Inclusion
Un autre symbole très important en ce qui concerne les ensembles est le symbole de l'inclusion que nous remarquons avec « ⊂ ». Ce symbole indique que certains éléments sont contenu ou compris Dans un ensemble plus grand. Il peut également être tiré pour inverser le sens de l'inclusion ou barré pour indiquer le Non inclusion.
Par exemple:
ℕ ⊂ ℝ (signifie que les nombres naturels sont inclus dans les nombres réels)
A = {-1, -2, -3} ⊄ ℕ (les nombres de l'ensemble n'appartiennent pas à Nombres naturels)
∩ et ⋃
Les derniers symboles que nous allons traiter sont les symboles de Intersection et de Union respectivement noté avec « ∩ » et « ⋃ ».
L'intersection de deux ensembles A et B signifie que nous créerons un sous-ensemble contenant tous les éléments qui appartiennent à la fois à A et B.
L'union de deux ensembles C et D signifie que nous créerons un sous-ensemble contenant tous les Éléments de C et D Je n'ai pris qu'une seule fois.
Par exemple:
A = {1, 2, 3} et b = {1, 3, 4} Nous aurons cela:
A∩b = {1, 3} et a ⋃ b = {1, 2, 3, 4}
Caractérisations des ensembles
Comme nous l'avons vu dans les nombreux exemples, les ensembles ne sont pas identiques. En fait, l'une de leurs caractéristiques les plus importantes est l'étendue de tout un tout: ils peuvent être Fini, Infini, unitaire et vide.
Un ensemble est fait s'il contient un nombre fini d'éléments.
Exemple:
Le nombre de voyelles du mot mathématiques.
Un ensemble est défini infini s'il a des éléments infinis à l'intérieur.
Exemple:
L'ensemble des nombres naturels.
Un tout est appelé unitaire s'il n'a qu'un seul élément à l'intérieur.
Exemple:
Les nombres égaux entre 9 et 11.
Un tout est appelé vide lorsqu'il n'a pas d'éléments à l'intérieur.
Exemple:
Les nombres divisibles par 5 entre 1 et 4.
Représentation d'un tout
Jusqu'à présent, nous avons vu ce que sont et comment les ensembles sont caractérisés. Le discours se développe lorsque nous entrons en contact avec eux et que nous voulons les représenter.
Il existe diverses techniques de représentation d'un ensemble ou de groupes d'ensembles. La base qui est d'abord enseignée est la représentation graphique de Euler-Venn qui consiste à dessiner des cercles et à insérer tous les éléments au niveau graphique.
Par la suite, nous avons des représentations plus sophistiquées données par l'utilisation de la langue mathématique. Ces techniques de représentation sont divisées en Ensembles pour la liste ou Extensif Et moinsiemi par fonctionnalité ou Intensif.
Faisons quelques exemples:
Euler-Venn
Dans cette image, nous voyons l'utilisation du diagramme de Euler-Venn.
Pour la liste ou la vaste
À l'ensemble des lettres du mot mathématiques. Ensuite, nous aurons ce type de représentation:
A = {m, a, t, e, i, c,}
Notez que les lettres qui sont répétées ne sont prises qu'une seule fois, car Chaque élément de l'ensemble doit être distingué afin que les éléments ne soient pas admis pris plusieurs fois.
Par caractéristique ou intensive
Les deux B l'ensemble de x tel que x est une montagne des Alpes.
B = {x | X est la montagne des Alpes}
Être l'ensemble de y tel que y est un multiple de 2
C = {y | y est un multiple de 7}
Conclusions
Avec cette écriture, il est possible de représenter les deux ensembles finis. Infini, unitaire ou vide, tandis que pour les 2 autres modes, il est plus compliqué, voire impossible, de représenter des ensembles infinis, car l'écriture de tous les multiples de 7 ou tous les nombres naturels est impossible à la main.
Si nous devions donc donner un sens à la réalisation des ensembles et à leur utilité dans la vie quotidienne, nous dirions qu'ils ont une importance significative pour l'organisation de quoi que ce soit.
Qui n'est pas arrivé dans une bibliothèque? Eh bien, des centaines de livres de toutes sortes, de différents écrivains, sont contenus à l'intérieur, qui traitent de différents sujets, et comment pourrions-nous donner un ordre à ce chaos sans utiliser de techniques de classification?
Ce problème peut être répondu par la présence: en fait, nous avons pu voir les étagères de la bibliothèque comme de nombreux ensembles contenant des livres ayant des caractéristiques similaires.
Par exemple, nous pourrions diviser les livres par l'auteur, par sujet, la date d'écriture, le nombre de pages, le nombre de mots, etc. Les classifications infinies ne pouvaient être effectuées qu'en modifiant le paramètre de la division des livres, mais tout cela dérive d'une chose, les ensembles, le résultat d'une connaissance mathématique millénaire capable de satisfaire ces besoins de classification.
Une arme contre le chaos qui autrement gouvernerait tout ce que nous savons.
Francesco Calderazzo
