Exercices pratiques et problèmes de géométrie

Lorsque vous étudiez les mathématiques, en particulier la géométrie, il ne suffit pas d'apprendre les formules et les théorèmes par cœur, mais vous devez également être en mesure de savoir comment résoudre les exercices et les problèmes que nos professeurs nous attribuent. En effet, les problèmes non seulement, par la logique, stimulent et améliorent le raisonnement, mais nous aident également à nous préparer à des problèmes de vie quotidienne.

Habituellement, les problèmes de géométrie représentent le pire cauchemar pour ceux qui étudient mathématique. Peut-être parce qu'il n'y a aucun moyen courant de résoudre tous les problèmes, mais chaque exercice a sa propre procédure.

Voyons maintenant certains types principaux de problèmes de géométrie qui se réunissent généralement du lycée au lycée.

Problèmes de géométrie avec démonstration

La plupart des exercices de géométrie demandent à trouver, à travers les données disponibles, la mesure de certains éléments (un côté ou un angle par exemple) d'une figure géométrique.

Au cours de la période de deux ans des lycées, en particulier des écoles secondaires, les élèves sont invités à démontrer la thèse du problème à travers les théorèmes qu'ils ont étudiés.

Dans ces types d'exercices, il n'est donc pas nécessaire de faire des calculs ou des procédures algébriques, mais, à partir de l'hypothèse donnée par la piste du problème, il faut être démontré à la thèse.

Prenons un exemple: « Étant donné que le triangle ABC prolonge les côtés AB et AC ainsi que deux segments AD = AB et AE = AC. Démontrent que les segments de la Colombie-Britannique sont congruents«.

Dans ce cas, notre hypothèse est que Ad = AB et AE = AC. Pour démontrer la thèse, nous devons considérer deux théorèmes:

• Le théorème des angles opposés au sommet, grâce à laquelle nous pouvons démontrer que les coins opposés à un sommet sont congruents, donc eâd≅bâc;
• Et le premier théorème de congruence des triangles, selon lesquels deux triangles, ayant deux côtés et le coin entre eux congruentes, sont congruents.

Grâce à ces deux théorèmes, nous pouvons donc démontrer que les deux triangles sont congruents, donc leurs « bases » seront également les mêmes, c'est-à-dire BC = ed.

Exercices de géométrie de la piane

En plus de ceux qui ont une démonstration, il existe également des problèmes de géométrie concernant les figures géométriques plates telles que les polygones, les circonférences et les théorèmes (comme Pythagore).

Malgré ces problèmes, ils sont principalement confrontés à eux-mêmes pendant les trois années des collèges, ou pendant les deux ans du lycée, et même s'ils semblent apparemment des exercices faciles, vous ne devez pas les sous-estimer car ils pourraient également arriver à l'examen de maturité!

Dans la simulation de l'examen de l'État de 2019 (pour les écoles secondaires scientifiques), par exemple, les candidats sont invités à résoudre un problème de géométrie plate (question 4 de la figure).

La piste du problème est la suivante: « Le raggio raggio raggio centré en haut à gauche du carré sur la figure couvre la moitié de la surface; Le rayon Ray Raggio centré au centre du carré occupe la moitié de la surface. Sachant que les carrés sont équivalents, il détermine le rapport R / R.« 

Le problème, à première vue, peut sembler difficile, mais en réalité pour le résoudre, n'oubliez pas la formule pour calculer la zone du cercle. Dans la figure, nous avons deux carrés congruents, dont nous l'indiquerons dans la zone avec la lettre À.

Dans le premier carré, il y a un quart de cercle de rayon R. Cette partie du cercle couvre la moitié de la zone carrée, donc nous aurons cela (πr²) / 4 = a / 2.

Dans le deuxième carré, il y a un autre cercle, du rayon rqui couvre également la moitié de la surface du deuxième carré. Afin que nous pouvons écrire ça πr² = a / 2.

La question nous demande de trouver la relation entre les deux rayons. Il nous suffit de rejoindre les deux équations, ayant en commun A / 2.

Donc (πr²) / 4 = πr² ⇒ (πR²) / 4 =πr² ⇒ r² / 4 = r² ⇒ r² / r² = 4 ⇒ (r / r) ² = 4 ⇒ R / r = 2.

Exercices de géométrie avec des solides

Quant à la géométrie euclidienne dans l'espace, les problèmes de ce type sont généralement attribués dans les collèges et arrivent fréquemment à l'examen du huitième.

Examinons maintenant un exercice typique, comme les suivants: « Un rectangle parallélépipé a les deux bords de base qui mesurent 8 cm et 3 cm et sa hauteur mesure 5 cm. Calculez la surface totale et son poids en sachant qu'il fait de liège (PS 0,25 g / cm³)« . »

Tout d'abord, consacrons-nous au calcul de la surface totale du polyèdre. Pour ce faire, nous devons d'abord trouver la zone du rectangle de base puis la surface latérale du parallélépipée.

Le premier sera S (base) = ab (Où à Et b Ce sont les bords de base), tandis que pour calculer la seconde, nous devrons d'abord trouver le périmètre de base et, plus tard, multiplier cela par la hauteur du solide: P = 2 (a + b) Et S (côté) = p * h = 2 (a + b) * h.

Pour trouver la surface totale, ajoutez simplement les zones, les zones de base et latérales.

Donc: S (total) = 2 * s (base) + s (côté) = 2ab + (2 (a + b) * h) = (2 * 8 * 3) + (2 * (8 + 3) * 5) = 48 + 110 =158 cm².

Le problème nous demande également de trouver le poids de notre parallélépipée en liège. Nous calculons ensuite le volume, ou V = s (base) * h = ab * h et nous le multiplions par le poids spécifique qui vient de la piste:

Poids = v * ps = ab * h * ps = 8 * 3 * 5 * 0,25 =30 g.

Problèmes de géométrie analytique

Cependant, les exercices de géométrie les plus courants sont ceux qui concernent la géométrie analytique, qui est de deux types: dans le plan (cartésien) ou dans l'espace. Voyons un exemple pour chaque type.

Géométrie analytique dans le plan

Les exercices de ce type concernent principalement les lignes droites et la parabole, la circonférence, l'ellipse et l'hyperbole).

L'un des problèmes classiques de la géométrie analytique sur le plan cartésien est celui dans lequel on nous demande de trouver l'équation d'un conique. L'exercice suivant, par exemple, nous demande « Trouvez l'équation de coaching avec Center in (2; 3) et passant par (-1,6)«.

Si vous vous souvenez des formules générales de la circonférence, nous devons trouver un type d'équation: (X-xc) ²- (y-cych) ² = r² Où Xc Et YC sont les coordonnées du centre e r C'est le rayon.

Les coordonnées du centre nous sont fournies par le problème, tandis que pour trouver le rayon, nous devons calculer la distance entre le centre et le point A = (-1,6). En appliquant la formule pour la distance entre deux points et en faisant deux calculs, nous aurons donc cela R = √18.

Maintenant, tout ce que nous avons à faire est de remplacer les données par l'équation générale de la circonférence:

(x-xc) ²- (y-cy) ² = r² ⇒ (x-2) ²- (y-3) ² = 18

En développant les carrés de combinaison, nous pouvons écrire que la circonférence aura comme équation: x² + y²-4x-6y-5 = 0.

Géométrie analytique dans l'espace

Contrairement au problème précédent, cette fois, les problèmes ne concernent pas un plan, mais un espace, il y aura donc 3 dimensions et donc les points auront 3 coordonnées (exemple: P = (xp, yp, zp)).

Des exemples de ces problèmes, nous pouvons également les trouver dans les tests des examens d'État. Par exemple, la question 5 du test de mathématiques de 2015 a déclaré « Déterminez une expression analytique de la ligne droite perpendiculaire dans l'origine au plan d'équation x + yz = 0 ″ .

Tout d'abord, nous savons que cette ligne passe par l'origine, donc elle aura des équations paramétriques: x = 0 + lt ; Y = 0 + mt; z = 0 + nt (Système PUT). Être perpendiculaire au plan π = x + yz = 0, Son porteur et celui du plan seront parallèles: donc les coefficients directifs de la ligne droite (L, M, M) sera le même que les coefficients du Paiano (1.1, -1).

Enfin, l'équation droite sera: x = y = −z .